浙江 2022 · 数学 q04

冷启动：把题面翻成两支箭头

假设你刚学到「充分条件」这四个字。这道题的全部内容就是下面三件事。

① 「$p$ 是 $q$ 的什么条件」问的是箭头。 有两个说法 $p$、$q$，只有两个问题要回答：

• $p\Rightarrow q$ 成立吗？（有 $p$ 就一定有 $q$ 吗）
• $q\Rightarrow p$ 成立吗？（有 $q$ 就一定有 $p$ 吗）

② 两个答案配出四种关系，正好就是这道题的四个选项：

记名字的办法只有一条，记牢它就不会说反：箭头射出的一端充分，射入的一端必要。$p\Rightarrow q$，箭头从 $p$ 出发，所以 $p$ 充分、$q$ 必要。

③ 谁是 $p$、谁是 $q$，先钉死。 题面写「『$\sin x=1$』是『$\cos x=0$』的（　）」——前面那个是 $p$：

$$p:\ \sin x=1,\qquad q:\ \cos x=0$$

读反了会把 A 和 B 整个对调，所以动笔前先把这两行抄在草稿上。

于是这道题变成两个具体的小问题：$\sin x=1$ 能不能推出 $\cos x=0$？$\cos x=0$ 能不能推出 $\sin x=1$？

解法一：两个方向各判一次

怎么想到的。 题目问的就是两支箭头，那就一支一支地办。正向要证（给出推理），反向要么证、要么举一个反例推翻——这两件事的力气完全不同，先想清楚哪边可能不成立，能省很多事。

这里有个直觉：$\sin x=1$ 把 $x$ 钉得很死（正弦顶到最大值，位置唯一），而 $\cos x=0$ 松得多（余弦为零的地方在圆上有两处）。紧的推松的容易，松的推紧的多半不行——所以先猜结论是「充分不必要」，再去证。

① 正向：$\sin x=1\Rightarrow\cos x=0$。 用同角三角函数的基本关系（对一切实数都成立，无需任何前提）：

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

把 $\sin x=1$ 代进去：

$$1^2+\cos^2x=1\ \Longrightarrow\ \cos^2x=0\ \Longrightarrow\ \cos x=0$$

注意 $\cos^2x=0$ 到 $\cos x=0$ 这一步是没有歧义的：平方等于零的实数只有零，不像 $\cos^2x=\tfrac14$ 那样要分 $\pm$ 两支。所以充分性成立 ✓。

② 反向：$\cos x=0\Rightarrow\sin x=1$ 吗？ 同样代进平方关系：

$$\sin^2x+0^2=1\ \Longrightarrow\ \sin^2x=1\ \Longrightarrow\ \sin x=\pm 1$$

这次出现了 $\pm$：$\sin x$ 可能是 $1$，也可能是 $-1$。只要真能取到 $-1$，反向就不成立。

③ 举一个反例把它坐实。 光说「可能是 $-1$」不够，得拿出一个具体的 $x$：

$$x=-\frac{\pi}{2}:\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\ \text{（满足 }q\text{）},\qquad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\neq 1\ \text{（不满足 }p\text{）}$$

（取 $x=\tfrac{3\pi}{2}$ 也一样。题面给的是 $x\in\mathbf{R}$，这个 $x$ 合法。）一个反例就够了——要否掉「所有的」，只需一个「不」。所以必要性不成立 ✗。

④ 对号入座。 正向 ✓、反向 ✗，查冷启动第 ② 条那张四行表：$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，选 A。

解法二：把两个条件的解集写出来比包含

怎么想到的。 「$p$ 能不能推出 $q$」是个逻辑判断，抽象、容易说反。但 $p$ 和 $q$ 说的都是同一个变量 $x$ 该满足什么——那就干脆把满足它们的 $x$ 各自列成一个集合，问题立刻变成「哪个集合装得下哪个」，这是看得见的事实。

依据只有一条：

$$A\subseteq B\iff (x\in A\Rightarrow x\in B)\iff p\Rightarrow q$$

也就是小范围推大范围。

① 写出 $A$：$\sin x=1$ 的全部解。 正弦在什么时候等于 $1$？在单位圆上，$\sin x$ 是终边与圆交点的纵坐标，纵坐标要等于 $1$，交点只能是最高点 $(0,1)$，对应的角是 $\tfrac{\pi}{2}$，再加上绕圈的整数倍：

$$A=\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$$

周期是 $2\pi$ 不是 $\pi$——从 $\tfrac{\pi}{2}$ 再转半圈到 $\tfrac{3\pi}{2}$（终边与 $-\tfrac{\pi}{2}$ 相同）时，交点跑到最低点，纵坐标变成 $-1$，不再是 $1$。

② 写出 $B$：$\cos x=0$ 的全部解。 $\cos x$ 是交点的横坐标，横坐标为零的点在圆上有两个：最高点 $(0,1)$ 与最低点 $(0,-1)$，对应 $\tfrac{\pi}{2}$ 与 $-\tfrac{\pi}{2}$。这两个角相差 $\pi$，所以合起来写是

$$B=\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$$

这里的周期是 $\pi$。 两个解集只差这一个字，而整道题的答案就压在这个差别上。

③ 比包含。 $B$ 里的元素按 $k$ 的奇偶分成两半：

$$k\ \text{为偶数}\ (k=2m):\ x=\frac{\pi}{2}+2m\pi\ \in A;\qquad k\ \text{为奇数}\ (k=2m+1):\ x=\frac{\pi}{2}+2m\pi+\pi=-\frac{\pi}{2}+2(m+1)\pi\ \notin A$$

所以 $A$ 恰好是 $B$ 的「偶数那一半」：$A\subseteq B$ 成立，而 $B$ 里那些奇数项（如 $k=-1$ 给出的 $x=-\tfrac{\pi}{2}$）不在 $A$ 里，故 $A\neq B$。合起来：

$$A\subsetneq B$$

④ 对号入座。 $A\subsetneq B$——小范围是大范围的充分条件，且因为不相等，不是必要条件。所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，选 A。

这两条路差在哪

• 解法一判的是箭头：正向用平方关系推，反向举一个具体反例推翻。它不需要写出通解，两步就完；代价是最后一步要把「哪个充分哪个必要」这个名字挂对。
• 解法二判的是集合：先把两个条件的全部解写出来，再看谁装得下谁。它多花力气解方程，换来的是最后一步几乎说不反——「$A$ 装在 $B$ 里」是看得见的。

第一个实质动作就分岔了（一个去推箭头、一个去解方程写通解），依赖的东西也不同（平方关系与举反例 vs 通解与子集判定），所以是两条路。

考场上怎么选：这道题两条都只要一两行，随手挑一条、再用另一条核一遍最稳。一般而言——$p$、$q$ 是同一变量的方程或不等式时，解法二更保险；$p$、$q$ 讲的是不同对象（如「四边形是菱形」与「对角线互相垂直」）时解集不好写，只能走解法一。

🕳️ 避坑

• 别把 $p$、$q$ 读反。 题干「『$\sin x=1$』是『$\cos x=0$』的（　）」里，前一个是 $p$。读反了 A、B 正好对调——而这两项恰恰是这道题的正确答案与头号干扰项。
• 两个方向都要判。 只验出「$\sin x=1$ 能推出 $\cos x=0$」就选 C（充要），是这道题最常见的丢分法：还差反向那一问没答。
• $\cos x=0$ 的解集周期是 $\pi$，不是 $2\pi$。 写成 $\tfrac{\pi}{2}+2k\pi$ 就把 $B$ 缩成了 $A$，比出来是 $A=B$，答案变成 C。圆上横坐标为零的点有两个，这是本题的全部机关。
• 反例要「满足 $q$ 而不满足 $p$」。 否证的是「$q\Rightarrow p$」，所以反例必须是 $B$ 里、$A$ 外的元素（如 $x=-\tfrac{\pi}{2}$）。举成 $x=0$（两个都不满足）什么也否不掉。
• 本题特有的一处：正向那一步 $\cos^2x=0\Rightarrow\cos x=0$ 不带 $\pm$（零的平方根只有零），而反向 $\sin^2x=1\Rightarrow\sin x=\pm1$ 必须带。两处都是「平方后开方」，一处唯一、一处两支——不对称正来自这里，把它看清楚，整道题就通了。