1.2 集合间的基本关系

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1.2 集合间的基本关系

我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如 $5 = 5, 5 < 7, 5 > 3$，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢？

观察

观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？

(1) $A=\{1,2,3\},B=\{1,2,3,4,5\}$ ;

(2) C 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D 为这个班全体学生组成的集合；

(3) (E = {x \mid x) 是有两条边相等的三角形}, (F = {x \mid x) 是等腰三角形}).

可以发现，在（1）中，集合 $A$ 的任何一个元素都是集合 $B$ 的元素．这时我们说集合$A$ 包含于集合 $B$ ，或集合 $B$ 包含集合 $A$ ．（2）中的集合 $C$ 与集合 $D$ 也有这种关系.

一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集 (subset)，记作

$A \subseteq B (\text {或} B \supseteq A),$

读作 “A 包含于 B”（或 “B 包含 A”）.

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图。这样，上述集合 A 与集合 B 的包含关系，可以用图 1.2-1 表示。

在（3）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合 $E$ ， $F$ 都是由所有等腰三角形组成的集合。即集合 $E$ 中任何一个元素都是集合 $F$ 中的元素，同时，集合 $F$ 中任何一个元素也都是集合 $E$ 中的元素。这样，集合 $E$ 的元素与集合 $F$ 的元素是一样的。

一般地，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A = B。

请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例.

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也就是说，若 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $A = B$.

如果集合 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$，且 $x \notin A$，就称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集（proper subset），记作

$A \subsetneqq B \text {(或} B \supsetneqq A),$

与实数中的结论“若 $a \geqslant b$，且 $b \geqslant a$，则 $a = b$”相类比，你有什么体会？

读作 “A 真包含于 B”（或 “B 真包含 A”）.

例如，在（1）中， $A\subseteq B$ ，但 $4\in B$ ，且 $4\notin A$ ，所以集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集.

我们知道，方程 $x^{2} + 1 = 0$ 没有实数根，所以方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的实数根组成的集合中没有元素.

你能举出几个空集的例子吗？

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为∅，并规定：空集是任何集合的子集.

思考

包含关系 $\{a\}\subseteq A$ 与属于关系 $a\in A$ 有什么区别？试结合实例作出解释.

由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：

(1) 任何一个集合是它本身的子集，即

$A \subseteq A;$

(2) 对于集合 A, B, C, 如果 $A \subseteq B$ , 且 $B \subseteq C$ , 那么 $A \subseteq C$ .

例 1 写出集合 $\{a, b\}$ 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

解：集合 $\{a, b\}$ 的所有子集为 $\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$. 真子集为 $\varnothing, \{a\}, \{b\}$.

例 2 判断下列各题中集合 A 是否为集合 B 的子集，并说明理由：

(1) $A=\{1,2,3\}$ , $B=\{x \mid x \text{ 是 8 的约数}\}$ ;

(2) $A=\{x \mid x \text{ 是长方形}\}, B=\{x \mid x \text{ 是两条对角线相等的平行四边形}\}.$

解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.

(2) 因为若 $x$ 是长方形, 则 $x$ 一定是两条对角线相等的平行四边形, 所以集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集.

练习

1. 写出集合 $\{a, b, c\}$ 的所有子集.

2. 用适当的符号填空:

(1) $a \_ \{a, b, c\}$; (2) $0 \_ \{x \mid x^2 = 0\}$;

(3) $\varnothing$ ____ $\{x\in \mathbf{R}|x^2 +1 = 0\}$ (4) $\{0,1\}$ N;

(5) $\{0\} \_\_\_\{x|x^2 = x\}$; (6) $\{2, 1\} \_\_\_\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$.

3. 判断下列两个集合之间的关系：

(1) $A=\{x\mid x<0\}$ ， $B=\{x\mid x<1\}$ ;

(2) $A = \{x \mid x = 3k, k \in \mathbf{N}\}$, $B = \{x \mid x = 6z, z \in \mathbf{N}\}$;

(3) $A = \{x\in \mathbf{N}_{+}|x$ 是4与10的公倍数}, $B = \{x|x = 20m, m\in \mathbf{N}_{+}\}$.

习题1.2

复习巩固

1. 选用适当的符号填空：

(1) 若集合 $A = \{x \mid 2x - 3 < 3x\}$, $B = \{x \mid x \geqslant 2\}$, 则 $-4 \quad B, -3 \quad A, \{2\} \quad B, B \quad A$;

(2) 若集合 $A=\{x \mid x^{2}-1=0\}$ ，则

1____A, {−1} ____A, ∅____A, {1, −1} ____A;

(3) $\{x \mid x \text{ 是菱形}\}$ ____ $\{x \mid x \text{ 是平行四边形}\}$ ; $\{x \mid x \text{ 是等腰三角形}\}$ ____ $\{x \mid x \text{ 是等边三角形}\}$ .

2. 指出下列各集合之间的关系，并用 Venn 图表示：

$A=\{x \mid x \text{ 是四边形}\}, B=\{x \mid x \text{ 是平行四边形}\}, C=\{x \mid x \text{ 是矩形}\}, D=\{x \mid x \text{ 是正方形}\}.$

综合运用

3. 举出下列各集合的一个子集：

(1) $A = \{x \mid x \text{ 是立德中学的学生}\}$; (2) $B = \{x \mid x \text{ 是三角形}\}$;

(3) $C = \{0\}$; (4) $D = \{x \in \mathbf{Z} \mid 3 < x < 30\}$.

4. 在平面直角坐标系中，集合 $C = \{(x, y) \mid y = x\}$ 表示直线 $y = x$，从这个角度看，集合 $D = \{(x, y) \mid \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + 4y = 5 \end{cases}\}$ 表示什么？集合 $C, D$ 之间有什么关系？

拓广探索

5.（1）设 $a, b \in \mathbf{R}, P = \{1, a\}, Q = \{-1, -b\}$，若 $P = Q$，求 $a - b$ 的值；

(2) 已知集合 $A = \{x \mid 0 < x < a\}$, $B = \{x \mid 1 < x < 2\}$, 若 $B \subseteq A$, 求实数 $a$ 的取值范围.