5.2.2 同角三角函数的基本关系

上一小节的三个三角函数都由同一个点 $P(x,y)$ 的坐标定义，所以它们之间必有关系。 这一小节把这个关系写出来，只有两条：

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad (\text{对一切 } \alpha \text{ 成立}),$$ $$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \quad \left(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right).$$

前者叫平方关系，后者叫商数关系。两条都只对”同一个角”成立——这也是”同角”两个字的分量： $\sin^2\alpha + \cos^2\beta = 1$ 是错的。

一、两条关系是怎么来的

平方关系：设 $\alpha$ 的终边与单位圆交于 $P(x,y)$，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于 $M$， 则 $\triangle OMP$ 是直角三角形且 $OP = 1$。由勾股定理

$OM^2 + MP^2 = 1, \qquad \text{即} \qquad x^2 + y^2 = 1,$

而 $x = \cos\alpha$、$y = \sin\alpha$，于是 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$。 终边落在坐标轴上时 $P$ 是 $(\pm1,0)$ 或 $(0,\pm1)$，代进去也成立，所以这条关系对一切实数 $\alpha$ 成立。

商数关系：直接由定义，$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{y}{x} = \tan\alpha$。 它要求 $x \neq 0$，即 $\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$——这一条的适用范围比平方关系窄，用之前要看一眼。

写法上要留神：$\sin^2\alpha$ 是 $(\sin\alpha)^2$ 的简写。

二、“知一求二”：三步流程

本小节的题几乎都是同一类：给三个函数值中的一个，求另外两个。 流程固定：

1. 定象限。 题目若直接给了象限，跳过这一步；若没给，就由已知值的符号推出可能的象限 （$\sin\alpha<0$ ⇒ 第三或第四象限或 $y$ 轴负半轴；$\tan\alpha<0$ ⇒ 第二或第四象限……）。 可能不止一个象限，那就要分类。
2. 用平方关系求出另一个的平方，再开方定号。 例如已知 $\sin\alpha$ 求 $\cos\alpha$： $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$，然后按第 1 步定下的象限决定取正根还是负根。
3. 用商数关系求 $\tan\alpha$。

开方那一步是全部风险所在：$\cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ 里的正负号不是随便挑的， 也不是两个都要——它由象限唯一决定。象限没定下来就必须分类讨论， 课本例 6（已知 $\sin\alpha = -\frac35$ 求 $\cos\alpha$、$\tan\alpha$）正是分了两类。

已知 $\tan\alpha$ 求 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 时换一个路子更快：由 $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$ 代入平方关系，得

$\cos^2\alpha\left(1+\tan^2\alpha\right) = 1, \qquad \text{即} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha},$

再按象限定号。（顺带一提，$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ 本身就是一条常用的变形。）

三、化简与证明：三个方向

含 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 的恒等式化简，方向只有三个，试一遍就够：

方向一：切化弦。 把 $\tan$ 全换成 $\frac{\sin}{\cos}$，式子里只剩两个量，好通分。 $\cos\theta\tan\theta = \sin\theta$、$(1+\tan^2\alpha)\cos^2\alpha = 1$ 都是一步的事。

方向二：用 $1$ 换 $\sin^2+\cos^2$（或反过来）。 式子里出现孤零零的 $1$ 时， 把它写成 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ 往往能配出因式；出现 $\sin^2+\cos^2$ 时立刻换成 $1$。 例如 $1 - 2\sin x\cos x = \sin^2x + \cos^2x - 2\sin x\cos x = (\sin x - \cos x)^2$。

方向三：平方差与配方。 $\sin^4 - \cos^4 = (\sin^2+\cos^2)(\sin^2-\cos^2) = \sin^2 - \cos^2$； $\sin^4+\cos^4 = (\sin^2+\cos^2)^2 - 2\sin^2\cos^2 = 1 - 2\sin^2\cos^2$。 只要看到四次方，先想平方差或完全平方。

证明恒等式的三种写法（任选其一，写清楚就行）：从一边推到另一边、两边分别化到同一个式子、 或作差证明差为零。课本例 7 用的是第一种，并且开头先交代了分母不为零—— 这一步不能省，它决定了等式在哪些角上成立。课本随后约定： 今后除特殊注明外，三角恒等式都是在使两边都有意义的前提下成立的。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 开方不定号，或者两个号都写。 符号由象限唯一决定；象限不唯一时要分类， 每一类各给一组答案。
2. 忘了商数关系的定义域。 用 $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 前要确认 $\cos\alpha \neq 0$。
3. “同角”两个字被忽略。 两条关系里的角必须是同一个。
4. 化简后没说明在哪些角上成立。 约掉 $\cos\alpha$ 时要注明 $\cos\alpha \neq 0$。
5. 已知 $\tan\alpha$ 求值时漏掉一个象限。 $\tan\alpha$ 的符号只能把角限制到两个象限，必然分两类。
6. $\sin^2\alpha$ 写成 $\sin\alpha^2$。 后者是 $\sin(\alpha^2)$，完全不同。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先做 2022 年第 4 题（判断 $\sin x = 1$ 与 $\cos x = 0$ 的充分必要关系）： 它的正方向就是一步平方关系——$\sin x = 1$ 代进 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 立刻得 $\cos x = 0$； 反方向靠反例。本节的公式在这道题里正好只用一次；
• 再看 2022 年第 13 题（互余角的三角等式求值）：它要在两个角之间来回换， 但每一步的合法性仍由平方关系兜住；
• 然后是 2022 年第 18 题、2023 年第 17 题与 2015 年第 16 题（都是解三角形）： 这两道里本节公式的用法很典型——由 $\cos A$ 求 $\sin A$ 时，三角形内角的范围 $0 < A < \pi$ 保证了 $\sin A > 0$，所以开方只取正根、不必分类。 这是”定象限”那一步在解三角形里最常见的形态，也是最容易忘记交代的一句。 2015 年第 16 题把这句话用得最干净：先由两次余弦定理算出 $\cos C=\dfrac{\sqrt5}{5}$， 再”因为 $C\in(0,\pi)$ 所以只取正根”得 $\sin C=\dfrac{2\sqrt5}{5}$，作商即 $\tan C=2$。 注意这一句在这里不是废话而是必需：脱离三角形，$\cos C=\dfrac{\sqrt5}{5}$ 对应的 $\sin C$ 有正负两支，$\tan C$ 就会有 $\pm2$ 两个答案。是”三角形的内角”这个身份把负的那支砍掉的。

本节页面覆盖第 189–194 页，课本习题共 28 道：第 189 页「练习」5 道（课本给 §5.2.1 「三角函数的概念」配的那一组，题面印在本节的首页上）、第 191 页「练习」5 道、 第 191–193 页「习题 5.2」18 道（复习巩固 6 道、综合运用 9 道、拓广探索 3 道）。

其中「习题 5.2」第 17 题不收——它问”你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗”， 是开放式的探索题，可写的关系式有无穷多条、没有唯一解答。其余 27 道逐题全做。

下文反复用到的两条基本关系是

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad (\text{对一切 } \alpha), \qquad \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \quad \left(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right),$$

以及上一小节的定义与公式一（终边相同的角，同一三角函数值相等）。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 189 页）第 1 题

1. 填表：

$\alpha$	$2\pi$	$\frac{13\pi}{6}$	$-\pi$	$-\frac{4\pi}{3}$	$\frac{15\pi}{4}$
$\sin\alpha$
$\cos\alpha$
$\tan\alpha$

题面的整张表就在上面的引文里。 这张表在原书里是表格图，最初的 OCR 转写整块丢了 （只剩”1. 填表：“一行），现已照第 189 页扫描图经校订层 page-0189-fix.md 补回规范化转写。 表头一行是五个角，下面三行分别要填 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$， 一共 $3 \times 5 = 15$ 个格子。以下解答只用”这五个角”这一条读数，不再另加条件。

（这一组「练习」是课本给 §5.2.1「三角函数的概念」配的，印在第 189 页、也就是本节的首页上， 故收在这一份里。它考的是定义与公式一，同角关系只在末尾当校验用。）

做法统一：先用公式一把角化到 $[0, 2\pi)$ 里，再写出终边与单位圆的交点，照定义读值。

• $\alpha = 2\pi$：$2\pi = 0 + 2\pi$，终边与 $0$ 相同，交点 $(1,0)$， 故 $\sin = 0$，$\cos = 1$，$\tan = \frac{0}{1} = 0$。
• $\alpha = \frac{13\pi}{6}$：$\frac{13\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi$，交点 $\left(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12\right)$， 故 $\sin = \frac12$，$\cos = \frac{\sqrt3}{2}$，$\tan = \frac{\sqrt3}{3}$。
• $\alpha = -\pi$：$-\pi = \pi - 2\pi$，终边与 $\pi$ 相同，交点 $(-1, 0)$， 故 $\sin = 0$，$\cos = -1$，$\tan = \frac{0}{-1} = 0$。
• $\alpha = -\frac{4\pi}{3}$：$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3}$，第二象限，交点 $\left(-\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$， 故 $\sin = \frac{\sqrt3}{2}$，$\cos = -\frac12$，$\tan = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12} = -\sqrt3$。
• $\alpha = \frac{15\pi}{4}$：$\frac{15\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi}{4}$，第四象限，交点 $\left(\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2}\right)$， 故 $\sin = -\frac{\sqrt2}{2}$，$\cos = \frac{\sqrt2}{2}$，$\tan = -1$。

填成表就是：

核一遍平方关系：每一列的 $\sin^2+\cos^2$ 依次是 $0+1$、$\frac14+\frac34$、$0+1$、 $\frac34+\frac14$、$\frac12+\frac12$，全是 $1$ ✓。

练习（第 189 页）第 2 题

2.（口答）设 $\alpha$ 是三角形的一个内角，在 $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \tan \frac{\alpha}{2}$ 中，哪些有可能取负值？

答案：$\cos\alpha$ 与 $\tan\alpha$ 有可能取负值。

三角形的内角满足 $0 < \alpha < \pi$，先把这个范围记牢，再逐个判断。

• $\sin\alpha$ 不可能为负。 $0<\alpha<\pi$ 时终边落在第一或第二象限，或与 $y$ 轴正半轴重合， 纵坐标恒为正，故 $\sin\alpha > 0$。
• $\cos\alpha$ 可能为负。 $\alpha$ 为钝角（$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$）时终边在第二象限， 横坐标为负，$\cos\alpha<0$。例如 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ 时 $\cos\alpha = -\frac12$。
• $\tan\alpha$ 可能为负。 同样在钝角时 $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} < 0$ （分子正、分母负）。例如 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ 时 $\tan\alpha = -\sqrt3$。 （$\alpha = \frac{\pi}{2}$ 时 $\tan\alpha$ 无意义，不影响”有可能为负”这个结论。）
• $\tan\frac{\alpha}{2}$ 不可能为负。 由 $0<\alpha<\pi$ 得 $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$， 即半角是锐角，终边在第一象限，横、纵坐标都为正，故 $\tan\frac{\alpha}{2} > 0$。

这道题的关键动作：先把”三角形内角”翻译成不等式 $0<\alpha<\pi$，再对每一个式子各自的角 （注意第四个是 $\frac{\alpha}{2}$，范围要跟着折半）定象限。

练习（第 189 页）第 3 题

3.确定下列三角函数值的符号：(1）$\sin 156^{\circ}$；(2）$\cos \frac{16}{5}\pi$；(3）$\cos (-450^{\circ})$；(4）$\tan \left(-\frac{17}{8}\pi\right)$；(5）$\sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right)$；(6）$\tan 556^{\circ}$.

统一做法：先用公式一化到 $[0,2\pi)$ 或 $[0^\circ,360^\circ)$，判出终边在哪个象限，再按”一全正、二正弦、三正切、四余弦”读符号。

• (1) $156^\circ$ 在 $(90^\circ, 180^\circ)$ 内，是第二象限角，故 $\sin 156^\circ > 0$。

• (2) $\frac{16}{5}\pi - 2\pi = \frac{6}{5}\pi$，而 $\pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$， 是第三象限角，故 $\cos\frac{16}{5}\pi < 0$。

• (3) $-450^\circ + 360^\circ = -90^\circ$，终边落在 $y$ 轴负半轴上（不属于任何象限）， 交点是 $(0,-1)$，横坐标为 $0$，所以

  $\cos(-450^\circ) = 0.$

  它既不是正数也不是负数——这一小问考的正是”终边落在坐标轴上”这个特例。

• (4) $-\frac{17}{8}\pi + 2\pi = -\frac{\pi}{8}$，而 $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{8} < 0$， 是第四象限角，故 $\tan\left(-\frac{17}{8}\pi\right) < 0$。

• (5) $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3}$，而 $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$， 是第二象限角，故 $\sin\left(-\frac{4\pi}{3}\right) > 0$。

• (6) $556^\circ - 360^\circ = 196^\circ$，而 $180^\circ < 196^\circ < 270^\circ$， 是第三象限角，故 $\tan 556^\circ > 0$。

练习（第 189 页）第 4 题

4. 对于 ① $\sin \theta > 0$，② $\sin \theta < 0$，③ $\cos \theta > 0$，④ $\cos \theta < 0$，⑤ $\tan \theta > 0$ 与 ⑥ $\tan \theta < 0$，选择恰当的关系式序号填空：

(1) 角 $\theta$ 为第一象限角的充要条件是 ____ ;

(2) 角 $\theta$ 为第二象限角的充要条件是 ____ ;

(3) 角 $\theta$ 为第三象限角的充要条件是 ____ ;

(4) 角 $\theta$ 为第四象限角的充要条件是 ____ .

设 $\theta$ 的终边与单位圆交于 $P(x,y)$，则 $\sin\theta = y$、$\cos\theta = x$、 $\tan\theta = \frac yx$。”$\theta$ 为第 $k$ 象限角”就是”$x$、$y$ 的正负按第 $k$ 象限”。

答案（各取一对）：

$$(1)\ \text{\textcircled{1}\textcircled{3}}, \qquad (2)\ \text{\textcircled{1}\textcircled{4}}, \qquad (3)\ \text{\textcircled{2}\textcircled{4}}, \qquad (4)\ \text{\textcircled{2}\textcircled{3}}.$$

为什么是充要的，以 (1) 为例：$\theta$ 是第一象限角 $\iff x>0$ 且 $y>0$ $\iff \cos\theta>0$ 且 $\sin\theta>0$，即③与①同时成立。两个方向都由这一串等价直接得到。 (2)(3)(4) 同理：

• 第二象限 $\iff x<0,\ y>0 \iff$ ④且①；
• 第三象限 $\iff x<0,\ y<0 \iff$ ④且②；
• 第四象限 $\iff x>0,\ y<0 \iff$ ③且②。

答案不唯一：因为 $\tan\theta = \frac yx$ 的符号由 $x$、$y$ 是否同号决定， 所以每一问还可以换成含⑤或⑥的写法——

• (1) 也可写作①⑤或③⑤；(2) 也可写作①⑥或④⑥；
• (3) 也可写作②⑤或④⑤；(4) 也可写作②⑥或③⑥。

但不能只填一个：单独一条只能把终边限制到两个象限（如②只给出第三或第四象限）， 必须两条取交集才是充要条件。

练习（第 189 页）第 5 题

5. 求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：

(1) $\cos 1109^{\circ}$ ; (2) $\tan \frac{19\pi}{3}$ ; (3) $\sin(-1050^{\circ})$ ; (4) $\tan\left(-\frac{31\pi}{4}\right)$ .

统一做法：用公式一减去（或加上）整数个周期，把角化到熟悉的范围内再算。

(1) $1109^\circ - 3 \times 360^\circ = 1109^\circ - 1080^\circ = 29^\circ$，故

$\cos 1109^\circ = \cos 29^\circ \approx 0.8746.$

（$29^\circ$ 不是特殊角，按题目要求用计算工具，精确到 $0.0001$。）

(2) $\frac{19\pi}{3} - 6\pi = \frac{19\pi}{3} - \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$，故

$\tan\frac{19\pi}{3} = \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt3.$

(3) $-1050^\circ + 3 \times 360^\circ = -1050^\circ + 1080^\circ = 30^\circ$，故

$\sin(-1050^\circ) = \sin 30^\circ = \frac12.$

(4) $-\frac{31\pi}{4} + 8\pi = -\frac{31\pi}{4} + \frac{32\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$，故

$\tan\left(-\frac{31\pi}{4}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1.$

减几个周期怎么定：用角除以 $2\pi$（或 $360^\circ$）取整即可。第 (4) 问要加 $4$ 个周期 （$8\pi$）才化到第一象限，少加一个就落到 $-\frac{7\pi}{4}$，虽然终边相同、结果一样， 但不如化到 $\frac{\pi}{4}$ 直观。

练习（第 191 页）第 1 题

1. 已知 $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$，且 $\alpha$ 为第三象限角，求 $\sin \alpha$，$\tan \alpha$ 的值.

象限题目已经给了，直接进第二步。

由平方关系 $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac45\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$， 故 $\sin\alpha = \pm\frac35$。

定号：$\alpha$ 是第三象限角，终边上点的纵坐标为负，故 $\sin\alpha < 0$，取

$\sin\alpha = -\frac35.$

再由商数关系（$\cos\alpha = -\frac45 \neq 0$，可用）：

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac35}{-\frac45} = \frac34.$

核一遍：$\left(-\frac35\right)^2 + \left(-\frac45\right)^2 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = 1$ ✓； 第三象限里 $\tan>0$，而算得 $\frac34>0$ ✓。

练习（第 191 页）第 2 题

2. 已知 $\tan \varphi = -\sqrt{3}$，求 $\sin \varphi, \cos \varphi$ 的值.

第一步：定象限。 $\tan\varphi = -\sqrt3 < 0$，即 $\frac{y}{x}<0$，$x$ 与 $y$ 异号， 所以 $\varphi$ 是第二象限角或第四象限角——必须分两类。

第二步：联立求解。 由商数关系 $\sin\varphi = \tan\varphi\cos\varphi = -\sqrt3\cos\varphi$， 代入平方关系：

$$(-\sqrt3\cos\varphi)^2 + \cos^2\varphi = 1 \quad \Longrightarrow \quad 4\cos^2\varphi = 1 \quad \Longrightarrow \quad \cos^2\varphi = \frac14,$$

故 $\cos\varphi = \pm\frac12$。

第三步：按象限定号。

• $\varphi$ 是第二象限角时：$\cos\varphi<0$，取 $\cos\varphi = -\frac12$， 于是 $\sin\varphi = -\sqrt3 \times \left(-\frac12\right) = \frac{\sqrt3}{2}$。 核一下：$\sin>0$、$\cos<0$，与第二象限相符 ✓。
• $\varphi$ 是第四象限角时：$\cos\varphi>0$，取 $\cos\varphi = \frac12$， 于是 $\sin\varphi = -\sqrt3 \times \frac12 = -\frac{\sqrt3}{2}$。 核一下：$\sin<0$、$\cos>0$，与第四象限相符 ✓。

答案：

$$\sin\varphi = \frac{\sqrt3}{2},\ \cos\varphi = -\frac12 \quad\text{或}\quad \sin\varphi = -\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\varphi = \frac12.$$

两组都要写——只给一组就是漏了一半。

练习（第 191 页）第 3 题

3. 已知 $\sin \theta = 0.35$，求 $\cos \theta$，$\tan \theta$ 的值（精确到 0.01）.

第一步：定象限。 $\sin\theta = 0.35 > 0$，纵坐标为正，故 $\theta$ 是第一象限角或第二象限角 （$\sin\theta = 0.35 \neq 1$，所以终边不会落在 $y$ 轴正半轴上）。分两类。

第二步：用平方关系。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.35^2 = 1 - 0.1225 = 0.8775,$

故 $\cos\theta = \pm\sqrt{0.8775} \approx \pm 0.9368$。

第三步：分类定号并求 $\tan\theta$。

• 第一象限：$\cos\theta \approx 0.9368 \approx 0.94$，

  $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \approx \frac{0.35}{0.9368} \approx 0.3736 \approx 0.37.$

• 第二象限：$\cos\theta \approx -0.9368 \approx -0.94$，

  $\tan\theta \approx \frac{0.35}{-0.9368} \approx -0.37.$

答案（精确到 $0.01$）：$\cos\theta \approx 0.94$、$\tan\theta \approx 0.37$， 或 $\cos\theta \approx -0.94$、$\tan\theta \approx -0.37$。

注意求 $\tan\theta$ 时用的是未取整的 $0.9368$：若先把 $\cos\theta$ 取成 $0.94$ 再去除， 得 $0.35/0.94 \approx 0.3723$，四舍五入仍是 $0.37$，本题没差别；但养成”中间量多留几位”的习惯， 换一道题就可能差在末位上。

练习（第 191 页）第 4 题

4. 化简：

(1) $\cos \theta \tan \theta;$

$\frac {2 \cos^ {2} \alpha - 1}{1 - 2 \sin^ {2} \alpha};$

(3) $(1 + \tan^2\alpha)\cos^2\alpha$.

（题面里第二个式子的编号”(2)“在转写中掉了，按课本它是第 (2) 小问。） 三小问都按”切化弦 + 用 $1 = \sin^2+\cos^2$“两个方向走。

(1) 出现 $\tan$，先切化弦（此处要求 $\cos\theta \neq 0$，否则 $\tan\theta$ 无意义）：

$\cos\theta\tan\theta = \cos\theta \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin\theta.$

(2) 分子、分母里各有一个孤零零的 $1$，把它换成 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$：

$$2\cos^2\alpha - 1 = 2\cos^2\alpha - (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha;$$ $$1 - 2\sin^2\alpha = (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) - 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.$$

分子与分母是同一个式子，故（在分母不为零即 $\cos^2\alpha \neq \sin^2\alpha$ 时）

$\frac{2\cos^2\alpha-1}{1-2\sin^2\alpha} = 1.$

(3) 先切化弦（要求 $\cos\alpha \neq 0$），再用平方关系：

$$(1+\tan^2\alpha)\cos^2\alpha = \left(1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right)\cos^2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1.$$

顺带记住 (3) 的副产品：由它可得 $1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$， 这是”已知 $\tan$ 求 $\cos$“最快的一条路。

练习（第 191 页）第 5 题

5. 求证：$\sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

从左边推到右边。左边前两项有公因式 $\sin^2\alpha$，提出来：

$$\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right) + \cos^2\alpha.$$

由平方关系，括号里等于 $1$，故上式

$= \sin^2\alpha \cdot 1 + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 = \text{右边}.$

等式对一切实数 $\alpha$ 成立（全程只用了平方关系，没有除法，也没有用到 $\tan$）。

这道题的关键动作：看到 $\sin^4$ 就找公因式 $\sin^2$，提完之后括号里往往正好是 $\sin^2+\cos^2$。

习题 5.2 第 1 题

1. 用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：

(1) $-\frac{17\pi}{3}$ ; (2) $\frac{21\pi}{4}$ ; (3) $-\frac{23\pi}{6}$ ; (4) $1500^{\circ}$ .

统一做法：公式一化到 $[0,2\pi)$，写出终边与单位圆的交点，照定义读三个值。

(1) $-\frac{17\pi}{3} + 6\pi = -\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$， 交点 $\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$：

$$\sin\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \frac12, \quad \tan\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \sqrt3.$$

(2) $\frac{21\pi}{4} - 4\pi = \frac{21\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$（第三象限）， 交点 $\left(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2}\right)$：

$$\sin\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}, \quad \cos\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}, \quad \tan\frac{21\pi}{4} = 1.$$

(3) $-\frac{23\pi}{6} + 4\pi = -\frac{23\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$， 交点 $\left(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12\right)$：

$$\sin\left(-\frac{23\pi}{6}\right) = \frac12, \quad \cos\left(-\frac{23\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \tan\left(-\frac{23\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt3}{3}.$$

(4) $1500^\circ - 4 \times 360^\circ = 1500^\circ - 1440^\circ = 60^\circ$， 交点 $\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$：

$\sin 1500^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 1500^\circ = \frac12, \quad \tan 1500^\circ = \sqrt3.$

核一遍：四小问的 $\sin^2+\cos^2$ 依次是 $\frac34+\frac14$、$\frac12+\frac12$、 $\frac14+\frac34$、$\frac34+\frac14$，全是 $1$ ✓。

习题 5.2 第 2 题

2. 已知角 $\alpha$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3a, 4a)$，其中 $a \neq 0$，求 $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ 的值.

用终边上一点的公式，先算 $r = |OP|$：

$r = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2+16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5|a|.$

注意这里必须写绝对值：$\sqrt{a^2} = |a|$，而 $a$ 的正负题目没给，所以要分两类。

情形一：$a > 0$。 此时 $|a| = a$，$r = 5a$，且 $P(3a,4a)$ 的两个坐标都为正，$\alpha$ 是第一象限角。

$$\sin\alpha = \frac{4a}{5a} = \frac45, \qquad \cos\alpha = \frac{3a}{5a} = \frac35, \qquad \tan\alpha = \frac{4a}{3a} = \frac43.$$

情形二：$a < 0$。 此时 $|a| = -a$，$r = -5a$（这是一个正数）， 且 $P$ 的两个坐标都为负，$\alpha$ 是第三象限角。

$$\sin\alpha = \frac{4a}{-5a} = -\frac45, \qquad \cos\alpha = \frac{3a}{-5a} = -\frac35, \qquad \tan\alpha = \frac{4a}{3a} = \frac43.$$

两种情形下 $\tan\alpha$ 都是 $\frac43$，因为 $\tan\alpha = \frac yx$ 里 $a$ 自动约掉， 与 $r$ 无关；而 $\sin$、$\cos$ 要除以 $r$，就带上了 $a$ 的符号。 这道题考的就是 $\sqrt{a^2} = |a|$ 那一步。

习题 5.2 第 3 题

3. 计算：

(1) $6\sin(-90^{\circ})+3\sin0^{\circ}-8\sin270^{\circ}+12\cos180^{\circ}$ ;

(2) $10\cos 270^{\circ} + 4\sin 0^{\circ} + 9\tan 0^{\circ} + 15\cos 360^{\circ}$;

(3) $2\cos \frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\tan^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{6} + \sin \frac{3\pi}{2}$;

(4) $\sin^{2}\frac{\pi}{3}+\cos^{4}\frac{3\pi}{2}-\tan^{2}\frac{\pi}{3}.$

把每个特殊角的值先写出来，再代入。

(1) $\sin(-90^\circ) = -1$（终边是 $y$ 轴负半轴），$\sin 0^\circ = 0$， $\sin 270^\circ = -1$，$\cos 180^\circ = -1$。故

$6(-1) + 3 \times 0 - 8(-1) + 12(-1) = -6 + 0 + 8 - 12 = -10.$

(2) $\cos 270^\circ = 0$，$\sin 0^\circ = 0$，$\tan 0^\circ = 0$，$\cos 360^\circ = 1$。故

$10 \times 0 + 4 \times 0 + 9 \times 0 + 15 \times 1 = 15.$

(3) 逐项：$\cos\frac{\pi}{2} = 0$；$\tan\frac{\pi}{4} = 1$； $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{3}$ 故 $\tan^2\frac{\pi}{6} = \frac13$； $\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$；$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}$ 故 $\cos^2\frac{\pi}{6} = \frac34$； $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$。于是

$$2 \times 0 - 1 + \frac34 \times \frac13 - \frac12 + \frac34 + (-1) = 0 - 1 + \frac14 - \frac12 + \frac34 - 1.$$

分数部分：$\frac14 - \frac12 + \frac34 = \frac{1-2+3}{4} = \frac12$；整数部分：$-1-1 = -2$。故

$= -2 + \frac12 = -\frac32.$

(4) $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$ 故 $\sin^2\frac{\pi}{3} = \frac34$； $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ 故 $\cos^4\frac{3\pi}{2} = 0$； $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt3$ 故 $\tan^2\frac{\pi}{3} = 3$。于是

$\frac34 + 0 - 3 = -\frac94.$

习题 5.2 第 4 题

4. 化简：

(1) $a \sin 0^{\circ} + b \cos 90^{\circ} + c \tan 180^{\circ}$ ;

(2) $-p^{2}\cos180^{\circ}+q^{2}\sin90^{\circ}-2pq\cos0^{\circ};$

(3) $a^2\cos 2\pi - b^2\sin \frac{3\pi}{2} + ab\cos \pi - ab\sin \frac{\pi}{2}$;

(4) $m\tan 0 + n\cos \frac{1}{2}\pi - p\sin \pi - q\cos \frac{3}{2}\pi - r\sin 2\pi$.

四小问的字母都只是系数，真正要做的是把每个三角函数值算出来。

(1) $\sin 0^\circ = 0$，$\cos 90^\circ = 0$，$\tan 180^\circ = 0$，故

$a \times 0 + b \times 0 + c \times 0 = 0.$

(2) $\cos 180^\circ = -1$，$\sin 90^\circ = 1$，$\cos 0^\circ = 1$，故

$-p^2(-1) + q^2(1) - 2pq(1) = p^2 + q^2 - 2pq = (p-q)^2.$

(3) $\cos 2\pi = 1$，$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$，$\cos\pi = -1$，$\sin\frac{\pi}{2} = 1$，故

$a^2(1) - b^2(-1) + ab(-1) - ab(1) = a^2 + b^2 - ab - ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2.$

(4) $\tan 0 = 0$，$\cos\frac{\pi}{2} = 0$，$\sin\pi = 0$，$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$，$\sin 2\pi = 0$， 五项全为零，故

$m \times 0 + n \times 0 - p \times 0 - q \times 0 - r \times 0 = 0.$

(2)(3) 两问的结果都是完全平方，这不是巧合：题目故意把 $\pm1$ 配成了 $x^2+y^2-2xy$ 的样子。

习题 5.2 第 5 题

5. 确定下列三角函数值的符号：

(1) $\sin 186^{\circ}$ ; (2) $\tan 505^{\circ}$ ; (3) $\sin 7.6\pi$ ;

(4) $\tan\left(-\frac{23\pi}{4}\right)$ ; (5) $\cos 940^{\circ}$ ; (6) $\cos\left(-\frac{59\pi}{17}\right)$ .

仍是”化到一圈内 → 判象限 → 读符号”。

• (1) $186^\circ \in (180^\circ, 270^\circ)$，第三象限，故 $\sin 186^\circ < 0$。
• (2) $505^\circ - 360^\circ = 145^\circ \in (90^\circ,180^\circ)$，第二象限，故 $\tan 505^\circ < 0$。
• (3) $7.6\pi - 6\pi = 1.6\pi$，而 $1.5\pi < 1.6\pi < 2\pi$，第四象限，故 $\sin 7.6\pi < 0$。
• (4) $-\frac{23\pi}{4} + 6\pi = -\frac{23\pi}{4} + \frac{24\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$， 第一象限，故 $\tan\left(-\frac{23\pi}{4}\right) > 0$。
• (5) $940^\circ - 2\times360^\circ = 940^\circ - 720^\circ = 220^\circ \in (180^\circ,270^\circ)$， 第三象限，故 $\cos 940^\circ < 0$。
• (6) $-\frac{59\pi}{17} + 4\pi = -\frac{59\pi}{17} + \frac{68\pi}{17} = \frac{9\pi}{17}$。 比较它与 $\frac{\pi}{2} = \frac{8.5\pi}{17}$：$\frac{9\pi}{17} > \frac{8.5\pi}{17}$， 又 $\frac{9\pi}{17} < \pi$，所以是第二象限角，故 $\cos\left(-\frac{59\pi}{17}\right) < 0$。

第 (6) 问的比较技巧：把 $\frac{\pi}{2}$ 通分成 $\frac{8.5\pi}{17}$ 直接比分子， 比化成小数快也不容易错。

习题 5.2 第 6 题

6. (1) 已知 $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, 且 $\alpha$ 为第四象限角, 求 $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ 的值; (2) 已知 $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, 且 $\alpha$ 为第二象限角, 求 $\sin \alpha$, $\tan \alpha$ 的值; (3) 已知 $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$, 求 $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ 的值; (4) 已知 $\cos \alpha = 0.68$, 求 $\sin \alpha$, $\tan \alpha$ 的值 (精确到 0.01).

(1) 由平方关系 $\cos^2\alpha = 1 - \frac34 = \frac14$，故 $\cos\alpha = \pm\frac12$； 第四象限里 $\cos>0$，取

$\cos\alpha = \frac12, \qquad \tan\alpha = \frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = -\sqrt3.$

核：第四象限 $\tan<0$ ✓。

(2) $\sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac5{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$， 故 $\sin\alpha = \pm\frac{12}{13}$；第二象限里 $\sin>0$，取

$\sin\alpha = \frac{12}{13}, \qquad \tan\alpha = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac5{13}} = -\frac{12}{5}.$

核：第二象限 $\tan<0$ ✓。

(3) 象限没给：$\tan\alpha = -\frac34 < 0$，故 $\alpha$ 是第二或第四象限角，分两类。

由 $\sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha = -\frac34\cos\alpha$ 代入平方关系：

$$\frac{9}{16}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \ \Longrightarrow\ \frac{25}{16}\cos^2\alpha = 1 \ \Longrightarrow\ \cos^2\alpha = \frac{16}{25},$$

故 $\cos\alpha = \pm\frac45$。

• 第二象限：$\cos\alpha = -\frac45$，$\sin\alpha = -\frac34 \times \left(-\frac45\right) = \frac35$；
• 第四象限：$\cos\alpha = \frac45$，$\sin\alpha = -\frac34 \times \frac45 = -\frac35$。

两组都要写。

(4) $\cos\alpha = 0.68 > 0$，故 $\alpha$ 是第一或第四象限角，分两类。

$\sin^2\alpha = 1 - 0.68^2 = 1 - 0.4624 = 0.5376, \qquad \sin\alpha = \pm\sqrt{0.5376} \approx \pm 0.7332.$

• 第一象限：$\sin\alpha \approx 0.73$，$\tan\alpha \approx \frac{0.7332}{0.68} \approx 1.0782 \approx 1.08$；
• 第四象限：$\sin\alpha \approx -0.73$，$\tan\alpha \approx -1.08$。

习题 5.2 第 7 题

7. 根据下列条件求函数 $f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-4\cos2x+3\cos\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)$ 的值：

(1) $x=\frac{\pi}{4}$ ;

(2) $x=\frac{3\pi}{4}$ .

直接代入求值即可——每一项的角先算出来，再查特殊角的值，不必展开任何和角公式。

(1) $x = \frac{\pi}{4}$。 四项的角依次是

$$x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, \qquad x-\frac{\pi}{4} = 0, \qquad 2x = \frac{\pi}{2}, \qquad x+\frac{3\pi}{4} = \pi.$$

于是

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} + 2\sin 0 - 4\cos\frac{\pi}{2} + 3\cos\pi = 1 + 0 - 0 + 3(-1) = -2.$$

(2) $x = \frac{3\pi}{4}$。 四项的角依次是

$$x+\frac{\pi}{4} = \pi, \qquad x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, \qquad 2x = \frac{3\pi}{2}, \qquad x+\frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}.$$

于是

$$f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\pi + 2\sin\frac{\pi}{2} - 4\cos\frac{3\pi}{2} + 3\cos\frac{3\pi}{2} = 0 + 2 \times 1 - 4 \times 0 + 3 \times 0 = 2.$$

这道题看着吓人，其实每一项的角都落在坐标轴上——题目就是这么设计的。 求值题先算角，别先展开公式。

习题 5.2 第 8 题

8. 确定下列式子的符号：

(1) $\tan 125^{\circ}\sin 273^{\circ}$ ;

(2) $\frac{\tan 108^{\circ}}{\cos 305^{\circ}}$ ;

(3) $\sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{4\pi}{5} \tan \frac{11\pi}{6}$ ;

(4) $\frac{\cos \frac{5\pi}{6} \tan \frac{11\pi}{6}}{\sin \frac{2\pi}{3}}$ .

做法：逐个因式定符号，再按乘除法的符号法则合成（负因式的个数是偶数则积为正，奇数则为负）。

(1) $125^\circ$ 是第二象限角，$\tan 125^\circ < 0$；$273^\circ$ 是第四象限角（$270^\circ<273^\circ<360^\circ$）， $\sin 273^\circ < 0$。两负相乘，故

$\tan 125^\circ \sin 273^\circ > 0.$

(2) $108^\circ$ 第二象限，$\tan 108^\circ < 0$；$305^\circ$ 第四象限，$\cos 305^\circ > 0$。 负除以正，故

$\frac{\tan 108^\circ}{\cos 305^\circ} < 0.$

(3) $\frac{5\pi}{4}$ 第三象限，$\sin < 0$；$\frac{4\pi}{5}$ 第二象限（$\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{5} < \pi$）， $\cos < 0$；$\frac{11\pi}{6}$ 第四象限，$\tan < 0$。三个负因式相乘，故

$\sin\frac{5\pi}{4}\cos\frac{4\pi}{5}\tan\frac{11\pi}{6} < 0.$

(4) $\frac{5\pi}{6}$ 第二象限，$\cos < 0$；$\frac{11\pi}{6}$ 第四象限，$\tan < 0$； $\frac{2\pi}{3}$ 第二象限，$\sin > 0$。分子是两负相乘为正，分母为正，故

$\frac{\cos\frac{5\pi}{6}\tan\frac{11\pi}{6}}{\sin\frac{2\pi}{3}} > 0.$

习题 5.2 第 9 题

9. 求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）：

(1) $\sin\left(-\frac{67\pi}{12}\right)$ ; (2) $\tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right)$ ;

(3) $\cos 398^{\circ}13'$ ; (4) $\tan 766^{\circ}15'$ .

(1) $-\frac{67\pi}{12} + 6\pi = -\frac{67\pi}{12} + \frac{72\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$，故

$\sin\left(-\frac{67\pi}{12}\right) = \sin\frac{5\pi}{12} = \sin 75^\circ \approx 0.9659.$

(2) $-\frac{15\pi}{4} + 4\pi = -\frac{15\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$，故

$\tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1.$

（这一小问是特殊角，得精确值，所以题目没要求取近似。）

(3) $398^\circ13' - 360^\circ = 38^\circ13'$，故

$\cos 398^\circ13' = \cos 38^\circ13' \approx 0.7857.$

(4) $766^\circ15' - 2\times360^\circ = 766^\circ15' - 720^\circ = 46^\circ15'$，故

$\tan 766^\circ15' = \tan 46^\circ15' \approx 1.0446.$

度分要先看清：$38^\circ13'$ 换成十进制是 $38 + \frac{13}{60} \approx 38.2167^\circ$， $46^\circ15' = 46.25^\circ$。用计算工具时要设成度分秒或先换算，别把 $13'$ 当成 $0.13^\circ$。

习题 5.2 第 10 题

10. 求证：

(1) 角 $\theta$ 为第二或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta \tan \theta < 0$ ;

(2) 角 $\theta$ 为第三或第四象限角的充要条件是 $\cos \theta \tan \theta < 0$ ;

(3) 角 $\theta$ 为第一或第四象限角的充要条件是 $\frac{\sin \theta}{\tan \theta} > 0$ ;

(4) 角 $\theta$ 为第一或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta \cos \theta > 0$ .

设 $\theta$ 的终边与单位圆交于 $P(x,y)$，则 $\sin\theta = y$、$\cos\theta = x$、 $\tan\theta = \frac yx$（要求 $x \neq 0$）。四小问都用同一条思路：把式子化简成只含 $x$ 或 $y$ 的形状，再翻译成终边的位置。注意”$\theta$ 是第 $k$ 象限角”等价于 $x$、$y$ 都不为零且符号按第 $k$ 象限。

(1) 式子 $\sin\theta\tan\theta$ 有意义就已经要求 $x \neq 0$。此时

$\sin\theta\tan\theta = y \cdot \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x}.$

因为 $y^2 \geqslant 0$，所以

$\frac{y^2}{x} < 0 \iff y^2 > 0 \text{ 且 } x < 0 \iff y \neq 0 \text{ 且 } x<0.$

而”$x<0$ 且 $y \neq 0$“正是”终边落在第二象限或第三象限”（$x<0$ 把终边限制在左半平面， $y \neq 0$ 排除了 $x$ 轴负半轴）。两个方向由这一串等价同时得到，故充要条件成立。

(2) 同样先有 $x \neq 0$。此时

$\cos\theta\tan\theta = x \cdot \frac{y}{x} = y = \sin\theta.$

于是

$\cos\theta\tan\theta < 0 \iff y<0 \text{ 且 } x \neq 0,$

而”$y<0$ 且 $x \neq 0$“正是”终边在第三象限或第四象限”（$y<0$ 限制在下半平面， $x \neq 0$ 排除 $y$ 轴负半轴）。故充要条件成立。

(3) 式子 $\frac{\sin\theta}{\tan\theta}$ 有意义要求 $x \neq 0$（$\tan\theta$ 要存在） 且 $\tan\theta \neq 0$（作分母），后者即 $y \neq 0$。此时

$\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = y \div \frac{y}{x} = y \cdot \frac{x}{y} = x = \cos\theta.$

于是

$\frac{\sin\theta}{\tan\theta} > 0 \iff x>0 \text{ 且 } y \neq 0,$

而”$x>0$ 且 $y \neq 0$“正是”终边在第一象限或第四象限”。故充要条件成立。

(4) $\sin\theta\cos\theta = xy$，且

$xy > 0 \iff x,y \text{ 同号且都不为零} \iff \text{终边在第一象限或第三象限}.$

故充要条件成立。

四小问的共同套路：把三角函数换回坐标 $x$、$y$，符号问题就变成了”点在哪个区域”。 另外要留意每个式子自带的定义域限制（$x \neq 0$、$y \neq 0$）， 它们正好把坐标轴上的那些角排除掉——这一步不交代，“充要”就站不住。

习题 5.2 第 11 题

11. 已知 $\sin x = -\frac{1}{3}$, 求 $\cos x$, $\tan x$ 的值.

定象限：$\sin x = -\frac13 < 0$ 且 $\sin x \neq -1$，故终边在第三象限或第四象限，分两类。

平方关系：

$$\cos^2 x = 1 - \left(-\frac13\right)^2 = 1 - \frac19 = \frac89, \qquad \cos x = \pm\frac{2\sqrt2}{3}$$

（因为 $\sqrt{\frac89} = \frac{2\sqrt2}{3}$）。

• 第三象限：$\cos x < 0$，取 $\cos x = -\frac{2\sqrt2}{3}$，于是

  $\tan x = \frac{-\frac13}{-\frac{2\sqrt2}{3}} = \frac{1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{4}.$

• 第四象限：$\cos x > 0$，取 $\cos x = \frac{2\sqrt2}{3}$，于是

  $\tan x = \frac{-\frac13}{\frac{2\sqrt2}{3}} = -\frac{\sqrt2}{4}.$

核符号：第三象限 $\tan>0$、第四象限 $\tan<0$，与两组结果一致 ✓。

习题 5.2 第 12 题

12. 已知 $\tan \alpha = \sqrt{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$, 求 $\cos \alpha - \sin \alpha$ 的值.

定象限：条件 $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ 直接说明 $\alpha$ 是第三象限角， 所以 $\cos\alpha<0$、$\sin\alpha<0$。象限唯一，不必分类。

求两个函数值：由商数关系 $\sin\alpha = \sqrt3\cos\alpha$，代入平方关系：

$$3\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \ \Longrightarrow\ \cos^2\alpha = \frac14 \ \Longrightarrow\ \cos\alpha = \pm\frac12.$$

第三象限里 $\cos\alpha<0$，故

$\cos\alpha = -\frac12, \qquad \sin\alpha = \sqrt3 \times \left(-\frac12\right) = -\frac{\sqrt3}{2}.$

所求：

$\cos\alpha - \sin\alpha = -\frac12 - \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac{\sqrt3-1}{2}.$

核一遍：$\sin^2+\cos^2 = \frac34+\frac14 = 1$ ✓；$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12} = \sqrt3$ ✓，与题设一致。 数值上 $\frac{\sqrt3-1}{2} \approx \frac{0.732}{2} \approx 0.366 > 0$， 而第三象限里 $|\sin\alpha| > |\cos\alpha|$、两者都为负，差为正，合理 ✓。

习题 5.2 第 13 题

13. 已知角 $\alpha$ 的终边不在坐标轴上，

(1) 用 $\cos \alpha$ 表示 $\sin \alpha$ , $\tan \alpha$ ;

(2) 用 $\sin \alpha$ 表示 $\cos \alpha$ ， $\tan \alpha$ .

“终边不在坐标轴上”是关键前提：它保证 $\sin\alpha \neq 0$ 且 $\cos\alpha \neq 0$， 于是 $\tan\alpha$ 有意义、分母不为零，而且四个象限都要分别给答案（符号不同）。

(1) 用 $\cos\alpha$ 表示。 由平方关系 $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$，故

$\sin\alpha = \pm\sqrt{1-\cos^2\alpha},$

符号由象限定：第一、二象限取正，第三、四象限取负。写清楚就是

$$\sin\alpha = \begin{cases} \sqrt{1-\cos^2\alpha}, & \alpha \text{ 是第一或第二象限角}, \\[2pt] -\sqrt{1-\cos^2\alpha}, & \alpha \text{ 是第三或第四象限角}. \end{cases}$$

再由商数关系

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}, & \alpha \text{ 是第一或第二象限角}, \\[6pt] -\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}, & \alpha \text{ 是第三或第四象限角}. \end{cases}$$

(2) 用 $\sin\alpha$ 表示。 同样由平方关系 $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$，故

$$\cos\alpha = \begin{cases} \sqrt{1-\sin^2\alpha}, & \alpha \text{ 是第一或第四象限角}, \\[2pt] -\sqrt{1-\sin^2\alpha}, & \alpha \text{ 是第二或第三象限角}, \end{cases}$$

于是

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \begin{cases} \dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}, & \alpha \text{ 是第一或第四象限角}, \\[6pt] -\dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}, & \alpha \text{ 是第二或第三象限角}. \end{cases}$$

注意 $\tan\alpha$ 的符号不能只看前面那个 $\pm$：在 (1) 里 $\cos\alpha$ 本身带符号， 在 (2) 里 $\sin\alpha$ 本身带符号，所以最终 $\tan\alpha$ 的正负仍要回到象限去核。 例如 (2) 的第二象限：$\sin\alpha>0$、分母前带负号，得 $\tan\alpha<0$ ✓。

习题 5.2 第 14 题

14. 求证：

(1) $\frac{1 - 2\sin x\cos x}{\cos^2x - \sin^2x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$;

(2) $\tan^2\alpha - \sin^2\alpha = \tan^2\alpha \sin^2\alpha$;

(3) $(\cos \beta - 1)^2 + \sin^2 \beta = 2 - 2 \cos \beta$;

(4) $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x$.

按课本的约定，以下等式都是在使两边都有意义的前提下成立的。

(1) 左右两边分别化简，化到同一个式子。

左边：分子里的 $1$ 换成 $\sin^2x+\cos^2x$，正好配成完全平方；分母是平方差：

$$\text{左边} = \frac{\sin^2x+\cos^2x - 2\sin x\cos x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)} = \frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)} = \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}$$

（约掉 $\cos x - \sin x$ 用到了分母不为零，即 $\cos x \neq \sin x$；分母整体不为零还要求 $\cos x \neq -\sin x$）。

右边：切化弦，分子分母同乘 $\cos x$（要求 $\cos x \neq 0$，否则 $\tan x$ 不存在）：

$$\text{右边} = \frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}.$$

两边都等于 $\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}$，故等式成立。

(2) 从左边推到右边，提公因式 $\sin^2\alpha$ 之前先切化弦：

$$\tan^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha\left(\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1\right) = \sin^2\alpha \cdot \frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}.$$

再用平方关系把分子的 $1-\cos^2\alpha$ 换成 $\sin^2\alpha$：

$$= \sin^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha\tan^2\alpha = \text{右边}.$$

（全程要求 $\cos\alpha \neq 0$，这正是 $\tan\alpha$ 有意义的条件。）

(3) 从左边展开：

$$(\cos\beta-1)^2 + \sin^2\beta = \cos^2\beta - 2\cos\beta + 1 + \sin^2\beta.$$

把 $\cos^2\beta + \sin^2\beta$ 合成 $1$：

$= 1 - 2\cos\beta + 1 = 2 - 2\cos\beta = \text{右边}.$

（这一条对一切实数 $\beta$ 成立。）

(4) 从左边配方：

$$\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x = \text{右边}.$$

（这一条也对一切实数 $x$ 成立。）

四小问各示范了一个方向：(1) 两边分别化；(2) 切化弦 + 提公因式； (3) 展开 + 用 $\sin^2+\cos^2=1$；(4) 完全平方的逆用。遇到四次方，先想 (4) 这一招。

习题 5.2 第 15 题

15. 已知 $\tan \alpha = 2$，求 $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ 的值.

关键动作：分子分母同时除以 $\cos\alpha$，把式子变成只含 $\tan\alpha$ 的形状—— 这样就不必先求出 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$，也就不必分象限讨论。

先验两处不为零。 $\tan\alpha = 2$ 说明 $\tan\alpha$ 有意义，故 $\cos\alpha \neq 0$，可以除。 又若 $\sin\alpha - \cos\alpha = 0$，则 $\tan\alpha = 1 \neq 2$，矛盾，故分母不为零。

化简：分子分母同除以 $\cos\alpha$，

$$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1} = \frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1} = \frac{2+1}{2-1} = 3.$$

核一遍：$\tan\alpha = 2$ 时 $\alpha$ 在第一或第三象限。 第一象限取 $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt5}$、$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt5}$， 原式 $= \frac{3/\sqrt5}{1/\sqrt5} = 3$ ✓； 第三象限取 $\sin\alpha = -\frac{2}{\sqrt5}$、$\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt5}$， 原式 $= \frac{-3/\sqrt5}{-1/\sqrt5} = 3$ ✓。两个象限给出同一个值—— 这正是”齐次式只与 $\tan$ 有关”的表现：分子分母都是关于 $\sin$、$\cos$ 的一次齐次式， 同时变号会互相抵消。

习题 5.2 第 16 题

16. 化简 $\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}}$，其中 $\alpha$ 为第二象限角.

第一步：把根号里的分式”有理化”。 对第一个根式，分子分母同乘 $1+\sin\alpha$：

$$\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha} = \frac{(1+\sin\alpha)^2}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} = \frac{(1+\sin\alpha)^2}{1-\sin^2\alpha} = \frac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}.$$

$\alpha$ 是第二象限角，故 $0 < \sin\alpha < 1$，于是 $1+\sin\alpha > 0$、$1 - \sin\alpha > 0$， 分母 $\cos^2\alpha > 0$（$\cos\alpha \neq 0$），开方得

$\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} = \frac{1+\sin\alpha}{|\cos\alpha|}.$

同理（第二个根式分子分母同乘 $1-\sin\alpha$）

$\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}} = \frac{1-\sin\alpha}{|\cos\alpha|}.$

第二步：相减。

$$\text{原式} = \frac{(1+\sin\alpha)-(1-\sin\alpha)}{|\cos\alpha|} = \frac{2\sin\alpha}{|\cos\alpha|}.$$

第三步：去绝对值。 $\alpha$ 是第二象限角，$\cos\alpha < 0$，故 $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$：

$\text{原式} = \frac{2\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -2\tan\alpha.$

核一个具体的角：取 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$，则 $\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2}$、 $\cos\alpha = -\frac12$、$\tan\alpha = -\sqrt3$。 原式 $= \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}} - \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}}$。 分别约为 $\sqrt{\frac{1.866}{0.134}} = \sqrt{13.93} \approx 3.732$ 与 $\sqrt{\frac{0.134}{1.866}} = \sqrt{0.0718} \approx 0.268$，差约 $3.464$； 而 $-2\tan\alpha = 2\sqrt3 \approx 3.464$ ✓。

这道题的全部难点在 $\sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|$ 那一步： 不看象限直接写成 $\cos\alpha$，答案的符号就反了。

习题 5.2 第 18 题

18.（1）分别计算 $\sin^4\frac{\pi}{3} -\cos^4\frac{\pi}{3}$ 和 $\sin^2\frac{\pi}{3} -\cos^2\frac{\pi}{3}$ 的值，你有什么发现？

（2）任取一个 $\alpha$ 的值，分别计算 $\sin^4\alpha -\cos^4\alpha$ ， $\sin^2\alpha -\cos^2\alpha$ ，你又有什么发现？

(3) 证明： $\forall x \in R, \sin^{2}x - \cos^{2}x = \sin^{4}x - \cos^{4}x.$

(1) $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$，$\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$，于是

$$\sin^2\frac{\pi}{3} = \frac34, \quad \cos^2\frac{\pi}{3} = \frac14, \quad \sin^4\frac{\pi}{3} = \frac{9}{16}, \quad \cos^4\frac{\pi}{3} = \frac{1}{16}.$$

所以

$$\sin^4\frac{\pi}{3} - \cos^4\frac{\pi}{3} = \frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac12, \qquad \sin^2\frac{\pi}{3} - \cos^2\frac{\pi}{3} = \frac34 - \frac14 = \frac12.$$

发现：两个值相等，都等于 $\frac12$。

(2) 任取一个角试试，取 $\alpha = \frac{\pi}{6}$：$\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$、 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}$，于是

$$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \frac{1}{16} - \frac{9}{16} = -\frac12, \qquad \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = \frac14 - \frac34 = -\frac12.$$

再取 $\alpha = \frac{\pi}{4}$：两者都是 $0$。

发现：换了角之后两个值仍然相等——这提示它不是巧合，而是一个对一切角都成立的恒等式， 即第 (3) 问要证的结论。

(3) 证明。 从右边入手，用平方差公式：

$$\sin^4x - \cos^4x = \left(\sin^2x\right)^2 - \left(\cos^2x\right)^2 = \left(\sin^2x + \cos^2x\right)\left(\sin^2x - \cos^2x\right).$$

由平方关系，第一个括号等于 $1$，故

$\sin^4x - \cos^4x = 1 \cdot \left(\sin^2x - \cos^2x\right) = \sin^2x - \cos^2x.$

推导中只用了平方差公式与平方关系，两者对一切实数 $x$ 都成立，故等式对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 成立。

这道题的结构值得记住：先算两个特例看出规律（(1)(2)），再证明它对一切角成立（(3)）—— “发现—猜想—证明”是这一册反复出现的研究路径，第 3 章研究单调性时也是这么走的。