浙江 2023 · 数学 q17

冷启动：先用内角和把 C 钉死

解三角形题，给的是角的关系：三角形 $\triangle ABC$ 里

$$A+B=3C,\qquad 2\sin(A-C)=\sin B$$

第一个式子和内角和 $A+B+C=\pi$ 一碰就出 $C$：把 $A+B=3C$ 代进 $A+B+C=\pi$ 得 $4C=\pi$，即 $C=\dfrac{\pi}{4}$。第二个式子要把 $\sin B$ 换成含 $A,C$ 的式子才能展开——这里 $B=\pi-(A+C)$，故 $\sin B=\sin(A+C)$（不是 $\sin(A-C)$），然后用两角和与差的正弦公式两边展开。求出 $\sin A$ 后，第 (2) 问给 $AB=5$，用正弦定理把另两边算出来，再用三角形面积公式（等面积法）求 $AB$ 边上的高。

解法一：内角和定角，和差展开求 sinA，正弦定理与等面积求高

（1）求 sinA

定 C。 由 $A+B=3C$ 与 $A+B+C=\pi$，

$$3C+C=\pi\ \Rightarrow\ C=\frac{\pi}{4}$$

把 sinB 换成 sin(A+C) 再展开。 因为 $B=\pi-(A+C)$，所以 $\sin B=\sin(A+C)$（见内角和换角丢符号，别写成 $\sin(A-C)$）。原式变成

$$2\sin(A-C)=\sin(A+C)$$

两边用两角和与差的正弦公式展开（$\sin(A\pm C)=\sin A\cos C\pm\cos A\sin C$）：

$$2(\sin A\cos C-\cos A\sin C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$$

移项合并，$\sin A\cos C$ 与 $\cos A\sin C$ 各自归堆：

$$\sin A\cos C=3\cos A\sin C$$

代 $C=\dfrac{\pi}{4}$，$\cos C=\sin C=\dfrac{\sqrt2}{2}$，约去公因子：

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin A=3\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cos A\ \Rightarrow\ \sin A=3\cos A$$

用平方关系收尾。 由 $\sin A=3\cos A$ 得 $\cos A=\dfrac{1}{3}\sin A$，代进 $\sin^2 A+\cos^2 A=1$：

$$\sin^2 A+\frac{1}{9}\sin^2 A=1\ \Rightarrow\ \frac{10}{9}\sin^2 A=1\ \Rightarrow\ \sin^2 A=\frac{9}{10}$$

又 $A\in(0,\pi)$，故 $\sin A>0$，于是

$$\sin A=\frac{3\sqrt{10}}{10}\qquad\left(\text{同时 }\cos A=\frac{\sqrt{10}}{10}>0,\ A\text{ 为锐角}\right)$$

（2）AB=5，求 AB 边上的高

先求 sinB 与另两边。 仍用 $\sin B=\sin(A+C)$ 展开：

$$\sin B=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt{10}}{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2\sqrt5}{5}$$

由正弦定理，公共比值为

$$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5}{\sin\frac{\pi}{4}}=5\sqrt2$$

于是

$$AC=5\sqrt2\sin B=5\sqrt2\cdot\frac{2\sqrt5}{5}=2\sqrt{10},\qquad BC=5\sqrt2\sin A=5\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}=3\sqrt5$$

等面积法求高。 设 $AB$ 边上的高为 $h$。同一个 $\triangle ABC$ 的面积用两种方式写（三角形面积公式）：以 $AB$ 为底是 $\dfrac12\cdot AB\cdot h$，以 $AC,BC$ 及其夹角 $C$ 算是 $\dfrac12\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C$，两者相等：

$$\frac12\cdot5\cdot h=\frac12\cdot2\sqrt{10}\cdot3\sqrt5\cdot\frac{\sqrt2}{2}$$

右边 $=\dfrac12\cdot6\sqrt{50}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac12\cdot30\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=15$，故 $\dfrac52 h=15$，解得 $h=6$。

更快的收尾：高 $h$ 就是从 $C$ 向 $AB$ 作的垂线段。在 $A$ 处的直角三角形里，$\sin A=\dfrac{h}{AC}$，所以 $h=AC\sin A=2\sqrt{10}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{10}=6$，连 $BC$ 都不用算。两条收尾同源（都先要正弦定理给出 $AC$），等面积法对称漂亮、投影法少算一边。

🕳️ 避坑

• $\sin B=\sin(A+C)$，不是 $\sin(A-C)$：$B=\pi-(A+C)$，正弦过 $\pi-$ 不变号；顺手记牢余弦那侧要变号，$\cos B=-\cos(A+C)$（见内角和换角丢符号）。
• 展开 $2\sin(A-C)=\sin(A+C)$ 移项时，$\sin A\cos C$ 一项左边有 $2$ 个、右边有 $1$ 个，相减剩 $1$ 个；$\cos A\sin C$ 左边减掉 $2$ 个、右边还有 $1$ 个，合起来是 $3$ 个——别把系数 $3$ 算丢。
• 由 $\sin^2 A=\dfrac{9}{10}$ 开方要带范围：$A\in(0,\pi)$ 内 $\sin A>0$，取正根 $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$；同时 $\sin A=3\cos A$ 与 $\sin A>0$ 逼出 $\cos A>0$，$A$ 是锐角，前后自洽。
• 等面积法别选错夹角：$\dfrac12\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C$ 里的 $C$ 是 $AC$ 与 $BC$ 的夹角，不是 $A$ 也不是 $B$。

故（1）$\sin A=\boxed{\dfrac{3\sqrt{10}}{10}}$；（2）$AB$ 边上的高为 $\boxed{6}$。