两角和与差的正弦公式

教材原文

上面得到了两角和与差的余弦公式. 我们知道, 用诱导公式五 (或六) 可以实现正弦、余弦的互化. 你能根据 $C_{(\alpha + \beta)}$, $C_{(\alpha - \beta)}$ 及诱导公式五 (或六), 推导出用任意角 $\alpha$, $\beta$ 的正弦、余弦表示 $\sin (\alpha + \beta)$, $\sin (\alpha - \beta)$ 的公式吗?

通过推导，可以得到：

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta.$

公式 $S_{(\alpha + \beta)}$ ， $C_{(\alpha + \beta)}$ ， $T_{(\alpha + \beta)}$ 给出了任意角 $\alpha$ ， $\beta$ 的三角函数值与其和角 $\alpha +\beta$ 的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.

公式

说明

• 符号与余弦公式相反：正弦是「和加差减」（跟着左边的符号走），余弦是「和减差加」（与左边的符号相反）。两条一起背最容易串，记法是「正弦同号、余弦反号」。
• 右边永远是 $\sin\cos+\cos\sin$ 的交叉形（两项都各带一个 $\sin$ 一个 $\cos$）；余弦公式则是 $\cos\cos$ 与 $\sin\sin$ 的同名形。展开后看一眼是不是交叉，就能发现把两条公式用混了。
• 正用是展开、逆用是合并：把 $\sin(A\pm C)$ 拆成 $A$、$C$ 各自正弦余弦的乘积和，便于合并同类项、 解出某个角的三角函数（解三角形里把 $2\sin(A-C)=\sin(A+C)$ 这类等式展开就是典型用法）；反过来把 $\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ 收成一个 $\sin(\alpha\pm\beta)$，用于化简求值。
• 常用特殊值由它现推：$\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$，$\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$。