浙江 2011 · 数学 q06

冷启动：已知给的是两个「带 $\frac{\pi}{4}$ 的角」，要的却是一个「不带 $\frac{\pi}{4}$ 的角」

题面给的是

$$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\qquad -\frac{\pi}{2}<\beta<0,$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{1}{3},\qquad \cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

要求 $\cos\left(\alpha+\dfrac{\beta}{2}\right)$。

先给两个角起个名，后面全用它们：

$$A=\frac{\pi}{4}+\alpha,\qquad B=\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}.$$

整道题的题眼，是一次减法：

$$A-B=\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\alpha+\frac{\beta}{2}.$$

两个 $\dfrac{\pi}{4}$ 自己对消了——待求的角恰好是两个已知角的差，一个多余的常数都不剩。命题人把 $\dfrac{\pi}{4}$ 摆进两个已知里，摆的一正一负，就是为了让它在相减时消掉；$\beta$ 那边写成 $\dfrac{\beta}{2}$ 而不是 $\beta$，同样是为了跟待求式对齐。看出这一步，这题就只剩代公式了。

第二件要先办的事：把两个角关到第一象限里。 两角差的余弦要用四个数 $\cos A$、$\sin A$、$\cos B$、$\sin B$，题面只给了两个余弦，两个正弦要靠同角三角函数的基本关系开方补出来——而开方的正负号必须由角的范围来定：

• $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{\pi}{4}<A<\dfrac{3\pi}{4}$。这一段横跨第一、第二象限，$\cos$ 可正可负；但题面又告诉我们 $\cos A=\dfrac{1}{3}>0$，于是 $A$ 只能在 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 里。
• $-\dfrac{\pi}{2}<\beta<0\ \Rightarrow\ 0<-\dfrac{\beta}{2}<\dfrac{\pi}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{\pi}{4}<B<\dfrac{\pi}{2}$，直接就在第一象限。

两个角都在 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 里，所以两个正弦都取正号。 这句话不写出来就开方，是这类题最常见的丢分点（原卷解答里那两行不等式，写的正是这件事）。

解法一：凑角——待求角正好是两个已知角的差

怎么想到的。 看见「已知两个组合角的值，求第三个组合角的值」，第一个动作不是解方程，是做一次加减法：把待求角试着写成已知角的和或差，看常数项能不能对消。这里一减就干净了，所以整条路只有三步。

第一步：凑角。 已在冷启动里写出：

$$\alpha+\frac{\beta}{2}=A-B .$$

第二步：补出两个正弦。 由冷启动定下的 $A,B\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$，两个正弦都取正：

$$\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},$$ $$\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

（第二个化简顺手记一下：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，分母有理化。）

第三步：代两角差的余弦公式。 差角公式中间是加号：

$$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

两项分别算：

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{9},\qquad \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{12}}{9}=\frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{9}=\frac{4\sqrt{3}}{9}.$$

关键是第二项要把 $\sqrt{12}$ 开到底——$\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，开不到底就凑不成同类项，会以为两项加不起来。加起来：

$$\cos\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{4\sqrt{3}}{9}=\frac{5\sqrt{3}}{9}, \qquad\text{选 C}.$$

回头看一眼这条路花在哪儿。 三步里最短的是第一步（一次减法），最容易错的是第二步（符号）与第三步（公式中间的正负号、以及根号化简）。真正需要「想」的只有第一步，后两步是手上功夫。

解法二：不凑角，硬解——把四个单角的正余弦全求出来再合成

怎么想到的。 如果没看出凑角，还有一条笨但一定走得通的路：选一组基本量，把所有条件都翻译到它们身上。 这里的基本量就是四个数

$$\cos\alpha,\quad \sin\alpha,\quad \cos\frac{\beta}{2},\quad \sin\frac{\beta}{2},$$

因为待求的 $\cos\left(\alpha+\dfrac{\beta}{2}\right)$ 展开之后正好只用这四个。走一遍能看清「凑角」到底省了多少事。

第一步：把两个已知都展开成基本量。 用两角和与差的余弦公式与两角和与差的正弦公式，$\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$：

$$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)=\frac{1}{3},\qquad \sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

（$\sin A$ 的值仍要按解法一第二步先开方求出来——这条路省不掉那一步。）两式各自解出：

$$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad \cos\alpha+\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4}{3}.$$

第二步：和差解出单角。 两式相加除以 $2$、相减除以 $2$：

$$\cos\alpha=\frac{4+\sqrt{2}}{6},\qquad \sin\alpha=\frac{4-\sqrt{2}}{6}.$$

顺手验一次：$(4+\sqrt2)^2+(4-\sqrt2)^2=(18+8\sqrt2)+(18-8\sqrt2)=36$，除以 $36$ 得 $1$，平方和对。

第三步：$\dfrac{\beta}{2}$ 那边同样办。 注意这次是 $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}$，展开的符号跟上面反过来：

$$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad \sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}}{3},$$

于是

$$\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3},\qquad \cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\beta}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3},$$ $$\cos\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{6},\qquad \sin\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{6}.$$

注意 $\sin\dfrac{\beta}{2}<0$（因为 $\sqrt{6}<2\sqrt{3}=\sqrt{12}$），这与 $-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\beta}{2}<0$ 完全一致——这是一次免费的自检：如果这里算出个正数，前面必有一步错了。

第四步：合成。 和角的余弦中间是减号：

$$\begin{aligned} \cos\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right) &=\cos\alpha\cos\frac{\beta}{2}-\sin\alpha\sin\frac{\beta}{2}\\[2pt] &=\frac{(4+\sqrt{2})(\sqrt{6}+2\sqrt{3})-(4-\sqrt{2})(\sqrt{6}-2\sqrt{3})}{36}. \end{aligned}$$

两个乘积各自展开（用到 $\sqrt2\cdot\sqrt6=2\sqrt3$、$\sqrt2\cdot2\sqrt3=2\sqrt6$）：

$$(4+\sqrt{2})(\sqrt{6}+2\sqrt{3})=4\sqrt{6}+8\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}=6\sqrt{6}+10\sqrt{3},$$ $$(4-\sqrt{2})(\sqrt{6}-2\sqrt{3})=4\sqrt{6}-8\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}=6\sqrt{6}-10\sqrt{3}.$$

相减，$6\sqrt6$ 整段对消：

$$\cos\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{20\sqrt{3}}{36}=\frac{5\sqrt{3}}{9},\qquad\text{选 C}.$$

这条路的意义在于对照。 答案一样，可它要解两个二元一次方程组、展开两个双根式乘积；而解法一只做了一次减法。同一道题，看出角的关系与看不出，工作量差着五六倍——「凑角」值钱就值在这里。

解法三：一个正弦都不算——把答案夹进一段区间，四个选项只剩一个

怎么想到的。 这是选择题，四个选项是四个具体的数。那就不必求出答案，只要把答案圈进一个足够小的范围，让范围里只剩一个选项。而本题的范围信息格外充足：两个角的位置都被卡得很死。

第一步：两个角各自的范围（冷启动已定）。

$$A\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right),\qquad B\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right).$$

第二步：判出 $A>B$，不用算角。 余弦函数在 $(0,\pi)$ 上严格递减，而 $A$、$B$ 都在这个区间里。比较两个已知的余弦值：

$$\cos A=\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{1}}{3}<\frac{\sqrt{3}}{3}=\cos B ,$$

余弦小的角大，所以 $A>B$，于是 $A-B>0$。

第三步：把差夹住。 两个角都在同一个长为 $\dfrac{\pi}{4}$ 的区间里，它们的差绝对值小于区间长：

$$0<A-B<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$

第四步：范围翻译成余弦的范围。 余弦在 $\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$ 上仍严格递减，故

$$\cos\frac{\pi}{4}<\cos(A-B)<\cos 0,\qquad\text{即}\qquad \frac{\sqrt{2}}{2}<\cos\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)<1 .$$

第五步：四个选项过一遍。 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$：

• B $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}<0$、D $-\dfrac{\sqrt{6}}{9}<0$——都是负数，直接出局；
• A $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$：与 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 比大小，两边都是正数，平方比即可——$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ 对 $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac13<\dfrac12$，故 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，太小，出局；
• C $\dfrac{5\sqrt{3}}{9}$：上边 $\dfrac{5\sqrt3}{9}<1\iff 5\sqrt3<9\iff 75<81$，成立；下边 $\dfrac{5\sqrt3}{9}>\dfrac{\sqrt2}{2}\iff 10\sqrt3>9\sqrt2\iff 300>162$，成立。只有它落在区间里。

$$\text{选 C}.$$

这条路是完整的，不是蒙。 每一步都是不等式推理，没有一处用到「大概是多少」；最后的三次比大小也都化成了整数比较。它唯一依赖的额外前提是「答案在四个选项里」——填空题不能这么写，选择题可以。

顺带说一句它为什么这么好使。 命题人给的两个余弦值 $\dfrac13$ 与 $\dfrac{\sqrt3}{3}$ 都在 $\left(0,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ 里，也就是把两个角都塞进了 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 这段窄区间——范围一窄，差就窄，余弦的范围就窄。反过来说，如果题面把 $\alpha$ 的范围放宽到 $(0,\pi)$，这条路立刻失效。用范围估答案之前，先看看范围够不够窄。

三条路怎么选

考场上写哪条：解法一。 它是标准答案的路，一分钟收工，而且填空题、解答题都能用。

解法三值得练——不是为了这道题，是为了那些「凑角凑不出来」的题：只要范围够窄，估范围永远是选择题的后路。半分钟出结果，还能反过来给解法一的答案做一次独立校验（$\dfrac{5\sqrt3}{9}\approx 0.96$ 确实落在 $(0.707,1)$ 里）。

解法二不建议在考场上写，但至少完整算一遍：它让「凑角」从一句口诀变成一个有代价的选择——不凑角要多做两个方程组，那才是记住它的理由。

易错

其一，开方不看范围。 由 $\cos A=\dfrac13$ 求 $\sin A$，等式 $\sin A=\pm\sqrt{1-\cos^2A}$ 本身给不出符号。由正弦反求余弦漏判符号说的是反过来那半边，本题是这一半：题面给 $\dfrac{\pi}{4}<A<\dfrac{3\pi}{4}$，这一段横跨一、二象限，$\sin A>0$ 恰好没问题；可要是题目把范围给成 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)$，就必须再靠 $\cos A>0$ 收一次。养成的习惯应该是：每次开方前，先把角关进一个象限，再取号。

其二，差角公式中间的符号记反。 这是和差余弦符号记反，也是本题选项 A、B 的来历：

$$\cos(A-B)=\cos A\cos B\ \boxed{+}\ \sin A\sin B,\qquad \cos(A+B)=\cos A\cos B\ \boxed{-}\ \sin A\sin B .$$

把加号写成减号，算出来是 $\dfrac{\sqrt3}{9}-\dfrac{4\sqrt3}{9}=-\dfrac{3\sqrt3}{9}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$——正好是选项 B；再把整体符号弄反一次就是选项 A。四个选项里有两个专为这一个符号准备，可见它有多常错。记法：余弦的展开「符号反着来」（和用减、差用加），正弦才是「符号跟着来」。

其三，算成了正弦。 选项 D 的 $-\dfrac{\sqrt6}{9}$ 来自

$$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B=\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{3}-\frac13\cdot\frac{\sqrt6}{3} =\frac{2\sqrt6}{9}-\frac{\sqrt6}{9}=\frac{\sqrt6}{9},$$

再带反一个号。四个数凑齐之后，代公式前先回头看一眼问的是 $\cos$ 还是 $\sin$——这一眼只要一秒。

其四，$\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}$ 没开到底。 $\sqrt2\cdot\sqrt6=\sqrt{12}$，很多人写到这里就停了，于是最后一步变成 $\dfrac{\sqrt3}{9}+\dfrac{2\sqrt{12}}{9}$，两项看着不是同类项，加不起来，就以为前面算错了回头重做。根号里的平方因子一定要提干净：$\sqrt{12}=2\sqrt3$。

其五，把「$\beta$ 的范围」直接当成「$\dfrac{\beta}{2}$ 的范围」。 $-\dfrac{\pi}{2}<\beta<0$ 给出的是 $-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\beta}{2}<0$，除以 $2$ 这一步不能省；而题面用的是 $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}$，还要再变一次号。范围里出现的角，必须和公式里出现的角是同一个，中间每做一次运算，范围就跟着做一次。

其六，先解 $\alpha$ 与 $\beta$ 再算。 由 $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac13$ 反解 $\alpha=\arccos\dfrac13-\dfrac{\pi}{4}$，再去算 $\cos\left(\alpha+\dfrac{\beta}{2}\right)$——除非按计算器，否则走不下去。给值求值题的通例是：单角本身求不出来，也不需要求出来，能用的只有角与角之间的加减关系。解法二看着「解出来了」，其实解的是 $\cos\alpha$、$\sin\alpha$，仍然不是 $\alpha$。