由正弦反求余弦漏判符号

坑长什么样

三角形里已知 $\sin A=\dfrac{\sqrt5}{5}$，要用和角公式，就得先有 $\cos A$：

两个符号都在 $(0,\pi)$ 内有对应的角（一个锐角、一个钝角），正弦值本身分辨不出来。随手取正号，等于默认了 $A$ 是锐角。

三角形里怎么定符号

按可用的信息从强到弱：

1. 大边对大角。 本题 $4a=\sqrt5c\Rightarrow\dfrac ac=\dfrac{\sqrt5}{4}<1\Rightarrow a<c\Rightarrow A<C$。又 $\cos C=\dfrac35>0$ 说明 $C$ 是锐角，于是 $A<C<\dfrac\pi2$，$A$ 必为锐角，取正号。
2. 一个三角形里至多一个钝角。 已经有一个角是钝角（或直角），其余两角就都是锐角。
3. 最大边对的角：若要判的角对着最短边，它一定是锐角。
4. 与已知角的和：若 $A+C$ 已知不超过某个界，也能卡住。

反过来：由余弦求正弦不用讨论

$\cos$ 在 $(0,\pi)$ 上单调，一个余弦值只对应一个角；而三角形内角的正弦恒为正，所以

「知余弦求正弦」是安全的，「知正弦求余弦」要讨论——这两句反着来，是这个坑的全部内容。

怎么防

• 每次写下 $\pm$，都在旁边补一句「由 ×××，取 + 号」；写不出理由就说明真有两解，答案得写两个。
• 算完回代验一次：把两组值分别代进原条件（如边长关系、面积、周长），看哪一组自洽。