浙江 2008 · 数学 q08

冷启动：先看一眼右边那个 $-\sqrt5$

题面给的是

$$\cos a+2\sin a=-\sqrt{5}$$

求 $\tan a$。（原卷把这个角写作 $a$ 而不是常见的 $\alpha$，照录不改——这里的 $a$ 是一个角， 不是边长或系数。）

第一件事：左边不是随便什么数都取得到的。 把 $\cos a+2\sin a$ 想成两个数的组合， 它的绝对值有个上限：

$$\left|\cos a+2\sin a\right|\leq\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$$

（下面三条路各用各的方式说明这一点——解法一用辅助角、解法三用点到直线的距离。） 于是右边给的 $-\sqrt{5}$ 恰好是这个下限。

这一句是本题的全部机关。 一般的方程 $\cos a+2\sin a=m$（$|m|<\sqrt5$）有两族解， $\tan a$ 一般也就有两个值，题目根本问不出唯一答案；只有当 $m$ 顶到边界 $\pm\sqrt5$ 时， 解才唯一，$\tan a$ 才定得下来。看见「等于最值」，就该想到「解唯一」， 而唯一的那个解通常有很整齐的形状。

第二件事：题目只问比值。 要的是 $\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}$，不是 $a$ 本身。 所以只要把 $\sin a$ 与 $\cos a$ 的比定出来就够了，不必解出角—— 这也是三条路最后一步都很短的原因。

解法一：辅助角公式——右边恰好是左边的最小值

怎么想到的。 左边是「一个正弦加一个余弦」的形状，这种式子的标准动作只有一个： 用辅助角公式 把它化成单个正弦（三角式化成单个正弦）， 因为单个正弦的取值范围一眼可见，最值什么时候取到也一眼可见。

① 提出振幅。 系数是 $1$ 与 $2$，振幅取 $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt5$：

$$\cos a+2\sin a=\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt5}\sin a+\frac{1}{\sqrt5}\cos a\right)$$

括号里两个系数的平方和是 $\frac45+\frac15=1$，所以存在一个角 $\varphi$ 使

$$\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5} \qquad\left(\text{于是}\ \tan\varphi=\frac{1}{2}\right)$$

代进去，括号里正是两角和的正弦：

$$\cos a+2\sin a=\sqrt{5}\left(\sin a\cos\varphi+\cos a\sin\varphi\right)=\sqrt5\sin(a+\varphi)$$

② 代入原方程。

$$\sqrt5\sin(a+\varphi)=-\sqrt5\implies \sin(a+\varphi)=-1$$

正弦取到 $-1$ ——这是它的最小值，所以 $a+\varphi$ 被钉死在 $-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ 上。

③ 由 $\sin(a+\varphi)=-1$ 推出 $\cos(a+\varphi)=0$。 因为 $\sin^{2}+\cos^{2}=1$， $\sin(a+\varphi)=-1$ 迫使 $\cos(a+\varphi)=0$。把它按两角和的余弦公式展开：

$$\cos a\cos\varphi-\sin a\sin\varphi=0$$

④ 直接读出比值。 先确认 $\cos a\neq 0$：若 $\cos a=0$，上式给 $\sin a\sin\varphi=0$， 而 $\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5}\neq 0$，于是 $\sin a=0$，与 $\sin^{2}a+\cos^{2}a=1$ 矛盾。 所以可以两边同除以 $\cos a\cos\varphi$（$\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5}\neq0$）：

$$1-\tan a\tan\varphi=0\implies \tan a=\frac{1}{\tan\varphi}=\frac{1}{1/2}=2$$

选 B。

这一步为什么不用解出角。 第 ③ 步得到的是一个关于 $\sin a$、$\cos a$ 的齐次等式 （每一项都是一次），两边同除 $\cos a$ 就只剩 $\tan a$——齐次式一除就降元， 比先解出 $a=-\frac{\pi}{2}-\varphi+2k\pi$ 再去算 $\tan$ 干净得多。

解法二：与平方关系联立，判别式为零

怎么想到的。 一个方程两个未知数（$\sin a$ 与 $\cos a$）当然解不出来—— 但它们之间还有一条天然的约束：同角三角函数的基本关系 $\sin^{2}a+\cos^{2}a=1$。 两个方程两个未知数，这就是一个普通的方程组，硬解即可。

① 换个名字，列出方程组。 记 $s=\sin a$、$c=\cos a$：

$$\begin{cases} c+2s=-\sqrt5,\\[2pt] s^{2}+c^{2}=1. \end{cases}$$

② 用线性方程消去 $c$。 由第一式 $c=-\sqrt5-2s$，代进第二式：

$$s^{2}+\left(\sqrt5+2s\right)^{2}=1 \implies s^{2}+5+4\sqrt5\,s+4s^{2}=1 \implies 5s^{2}+4\sqrt5\,s+4=0$$

③ 判别式恰好是 $0$。

$$\Delta=\left(4\sqrt5\right)^{2}-4\cdot 5\cdot 4=80-80=0$$

$\Delta=0$ 不是巧合，它就是冷启动那句「右边顶到了边界」的代数版本： 方程组只有一组解，所以 $\tan a$ 唯一。（若右边换成 $|m|<\sqrt5$，这里会得到 $\Delta>0$、两组解，一般就对应两个不同的 $\tan a$——$m=0$ 是唯一的例外，那时两组解恰好反号、正切相同； 换成 $|m|>\sqrt5$ 则 $\Delta<0$、无解。）

④ 解出这个重根，再回代。

$$s=\frac{-4\sqrt5}{2\cdot 5}=-\frac{2\sqrt5}{5}$$ $$c=-\sqrt5-2s=-\sqrt5+\frac{4\sqrt5}{5}=\frac{-5\sqrt5+4\sqrt5}{5}=-\frac{\sqrt5}{5}$$

这里必须用线性式 $c=-\sqrt5-2s$ 回代，不能用 $c=\pm\sqrt{1-s^{2}}$—— 后者会把符号丢掉，得出 $\tan a=\pm 2$，而 $2$ 与 $-2$ 正是选项 B 与 D，分不出来就等于没做。 线性式一步定死：$c=-\frac{\sqrt5}{5}<0$。

⑤ 求比值。

$$\tan a=\frac{s}{c}=\frac{-\dfrac{2\sqrt5}{5}}{-\dfrac{\sqrt5}{5}}=2$$

⑥ 回代验一遍。 $c+2s=-\frac{\sqrt5}{5}-\frac{4\sqrt5}{5}=-\frac{5\sqrt5}{5}=-\sqrt5$ ✓； $s^{2}+c^{2}=\frac{20}{25}+\frac{5}{25}=1$ ✓。选 B。

解法三：单位圆与直线相切，切点就是那个唯一的解

怎么想到的。 把 $\left(\cos a,\ \sin a\right)$ 看成平面上的一个点 $P$，前面那个方程组立刻有了几何意义：

• $\sin^{2}a+\cos^{2}a=1$ 说 $P$ 在单位圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上；
• $\cos a+2\sin a=-\sqrt5$ 说 $P$ 在直线 $x+2y=-\sqrt5$ 上。

于是「解方程组」变成「求圆与直线的公共点」，而这件事有一个不必解方程的判据—— 相切化为距离等于半径。

① 算圆心到直线的距离。 圆心是原点 $O(0,0)$，半径 $r=1$；直线写成 $x+2y+\sqrt5=0$，

$$d=\frac{\left|0+2\cdot 0+\sqrt5\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=1$$

② $d=r$，所以相切。 圆与直线只有一个公共点——切点 $T$。 这正是冷启动那句「解唯一」的几何版本：右边再大一点点（$|m|<\sqrt5$）直线就割进圆里，两个交点； 再小一点点（$|m|>\sqrt5$）直线就离开圆，无交点。

③ 切点在哪：从圆心沿法向量走。 切点是 $O$ 在直线上的垂足，而直线 $x+2y=-\sqrt5$ 的 法向量是 $(1,2)$，所以 $T=t(1,2)$（$t$ 待定）。代进直线方程：

$$t+2\cdot 2t=-\sqrt5\implies 5t=-\sqrt5\implies t=-\frac{\sqrt5}{5}$$ $$T=\left(-\frac{\sqrt5}{5},\ -\frac{2\sqrt5}{5}\right)$$

（在第三象限，$\cos a<0$、$\sin a<0$——与解法二算出的 $c$、$s$ 一模一样。）

④ 读出正切。 $\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}=\dfrac{y_{T}}{x_{T}}$，而这个比正好是直线 $OT$ 的斜率：

$$\tan a=\frac{-\dfrac{2\sqrt5}{5}}{-\dfrac{\sqrt5}{5}}=2$$

选 B。

⑤ 连切点都可以不算。 $OT$ 是半径、垂直于切线，而切线的斜率是 $-\dfrac12$ （由 $x+2y=-\sqrt5$ 解出 $y=-\frac12 x-\frac{\sqrt5}{2}$）。两条互相垂直的直线，斜率之积为 $-1$，所以

$$\tan a=k_{OT}=-\frac{1}{k_{\text{切线}}}=-\frac{1}{-1/2}=2$$

一行就完了——这是三条路里最短的一步，代价是要先看出「圆与直线相切」这个结构。

三条路回头看。 解法一是课本的正统路线：把 $A\sin a+B\cos a$ 化成单个正弦， 之后「取到最值」的条件一目了然；它的通用性最好——右边换成任何数都能照做（只是解不再唯一）。 解法二完全不用三角公式，只把两个未知数当普通的数去解方程组，$\Delta=0$ 自动告诉你解唯一； 它最不需要记忆，但要小心回代时的符号。解法三把两个条件翻译成圆与直线， 「相切」这个词一出现，唯一性、切点位置、乃至 $\tan a$ 的值就全有了，而且第 ⑤ 步 连坐标都不用算。三条路给出的 $\left(\cos a,\sin a\right)$ 完全相同，都落在第三象限。

四个选项，四种读法。 $2$（B）是 $\tan a$；$\dfrac12$（A）是辅助角 $\varphi$ 的正切 （$\tan\varphi=\frac12$，把两个角弄混就选它）；$-\dfrac12$（C）是那条直线的斜率 （把切线的斜率当成了 $OT$ 的斜率）；$-2$（D）是符号丢了一次的结果 （比如用 $\cos a=+\sqrt{1-\sin^{2}a}$ 回代）。四个选项恰好是本题四个容易混的量。

🕳️ 避坑

• 回代求 $\cos a$ 要用线性式，不要开平方。 $\cos a=\pm\sqrt{1-\sin^{2}a}$ 会丢掉符号， 给出 $\tan a=\pm2$；而原方程里的 $c=-\sqrt5-2s$ 是一次的，符号自带。 本题 $\sin a<0$ 且 $\cos a<0$（第三象限），两个都是负的，比值才是正的 $2$。
• 辅助角里的 $\varphi$ 不是要求的 $a$。 $\tan\varphi=\dfrac12$ 是系数定的， $\tan a=2$ 是方程定的，两者互为倒数，写混就落到选项 A。 写辅助角时把 $\varphi$ 的定义（$\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5}$、$\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5}$） 老老实实写出来，比只记「$\tan\varphi=\frac BA$」可靠。
• $\tan a$ 是 $OT$ 的斜率，不是切线的斜率。 两者垂直、乘积为 $-1$。 把 $-\frac12$ 当答案就落到选项 C。
• 先确认方程有解。 $\left|\cos a+2\sin a\right|\leq\sqrt5$；右边若给的是 $-3$，这道题就无解。 本题右边恰好顶到边界，这才让 $\tan a$ 唯一——「等于最值」是解唯一的信号，不是巧合。