诱导公式

教材原文

公式五

$\sin (\frac {\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha ,$

$\cos \left(\frac {\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha .$

公式六

$\sin (\frac {\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha ,$

$\cos \left(\frac {\pi}{2} + \alpha\right) = - \sin \alpha .$

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。公式一～公式六都叫做诱导公式。

要点

• 公式五就是「互余角的正弦余弦互换」：$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ 时 $\sin\beta=\cos\alpha$、$\cos\beta=\sin\alpha$。题面给「两角互余」，第一个动作几乎总是用它把两个未知角并成一个。
• 记法口诀「奇变偶不变，符号看象限」：角写成 $\dfrac{k\pi}{2}\pm\alpha$，$k$ 为奇数时函数名要变（$\sin\leftrightarrow\cos$），$k$ 为偶数时不变；符号由「把 $\alpha$ 当锐角时原函数所在象限」定。
• 公式一～四（$2k\pi+\alpha$、$\pi+\alpha$、$-\alpha$、$\pi-\alpha$）只改符号、不换名；公式五、六跨了 $\dfrac{\pi}{2}$，要换名——这是最容易记混的分界。

常见失手

• 该换名却没换：$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ 时写成 $\sin\beta=\sin\alpha$，把互余当成了相等。
• 符号定错：$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$ 的负号常被丢掉。
• α 不是锐角就慌：口诀里的「把 $\alpha$ 当锐角」只是定符号的手段，公式本身对任意角都成立。