补角同正弦搬角

解题套路

图形长这样：$D$ 在线段 $AC$ 上，$B$ 在直线 $AC$ 外，于是一条 $BD$ 把 $\triangle ABC$ 切成 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BDC$。$D$ 处那两个角互补：

于是：

1. 看题目把角给在哪个三角形里，再看待求的量在哪个三角形里。两者不在同一个时，别急着解两次。
2. 正弦要用就直接搬：$\sin$ 对补角相等，给在 $\triangle BDC$ 的 $\sin\angle BDC$ 就是 $\triangle ABD$ 里的 $\sin\angle ADB$。正弦定理只吃正弦，所以这一步是免费的。
3. 余弦要用就变号：$\cos\angle ADB=-\cos\angle BDC$。余弦定理里符号反了，答案的正负也就反了——这是本套路唯一的风险点。
4. 角度本身要写清：$\angle BDC=45^\circ$ 时 $\angle ADB=135^\circ$。填在正弦定理里的角必须是这个三角形自己的那一个，哪怕正弦相同也要写对，否则后面用内角和求第三个角时会算错。

为什么它省事

题目常把条件给在「小三角形」里、把待求量放在「大三角形」或另一个小三角形里。硬做要在两个三角形里各列一次定理、再联立消掉那条公共边。用补角把角搬过去，往往一个三角形就够：

• 待求边与已知边分居 $BD$ 两侧时，先搬角，再在含待求边的那个三角形里用一次正弦定理；
• 公共边 $BD$ 自身就是待求量时更划算：它在两个三角形里都出现，搬角之后随便挑一个算。

与内角和配套用

搬完角，第三个角常常就是白给的：$\triangle ABD$ 里 $\angle ABD=\pi-\angle ADB-\angle BAD$。所以「补角 + 内角和」两步下来，一个三角形里三个角常常全知道，剩下的只是把边配上去。

常见失手

• 把题给的角直接当成另一个三角形的内角（$45^\circ$ 当成 $\angle ADB$ 用）：正弦碰巧相等，但用内角和求第三角时会差出 $90^\circ$。
• 余弦忘了变号：$\cos\angle ADB=-\cos\angle BDC$，漏掉负号在余弦定理里就是加减写反。
• 钝角三角形的图画反了：$\angle ADB$ 是钝角时 $D$ 靠 $A$ 那一侧更近，草图画对了才不会把点的位置弄颠倒。