浙江 2019 · 数学 q14

冷启动：把三句话摆成一张图

题目给的是一个直角三角形加一条斜线：$\angle ABC=90^\circ$、$AB=4$、$BC=3$，$D$ 在斜边 $AC$ 上，且 $\angle BDC=45^\circ$。问 $BD$ 与 $\cos\angle ABD$。

先把白给的量算出来——这一步不做，后面全在原地打转：

$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{16+9}=5,\qquad \sin\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5},\qquad \cos\angle BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$$

（$\angle BAC$ 就是 $A$ 处那个角。它的正弦、余弦是读出来的，不必解三角形：直角三角形里「对边比斜边」「邻边比斜边」。）

再把那个 $45^\circ$ 搬到该用的地方。$D$ 在线段 $AC$ 上，所以 $D$ 处有两个角，它们互补：

$$\angle ADB=180^\circ-\angle BDC=180^\circ-45^\circ=135^\circ$$

这句话必须当场写在草图上。 题目给的 $45^\circ$ 属于 $\triangle BDC$，而 $BD$ 与 $\angle ABD$ 都在 $\triangle ABD$ 里；正弦对补角相同（$\sin135^\circ=\sin45^\circ$）会让人以为不搬也行，但下一步用内角和求 $\angle ABD$ 时，$45^\circ$ 与 $135^\circ$ 差出整整 $90^\circ$。

于是 $\triangle ABD$ 里两角一边全知道：$\angle ADB=135^\circ$、$\angle BAD=\angle BAC$（同一个角，$D$ 在 $AC$ 上）、$AB=4$。一条正弦定理就够了——这是解法一。

第二个空同样是白给的：三角形内角和

$$\angle ABD=180^\circ-\angle ADB-\angle BAD=180^\circ-135^\circ-\angle BAC=45^\circ-\angle BAC$$

注意它是一个差角，展开就用两角差的余弦。

下面这张图把解法二画了出来：从直角顶点 $B$ 向斜边作高 $BH$，$45^\circ$ 让 $\triangle BHD$ 成为等腰直角三角形。

解法一：补角写出来，在 $\triangle ABD$ 里一条正弦定理定 $BD$

① 在 $\triangle ABD$ 里列正弦定理。 待求的 $BD$ 对着 $\angle BAD$，已知的 $AB$ 对着 $\angle ADB$：

$$\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{BD}{\sin\angle BAD}$$

边与它所对的角要配对——这是正弦定理唯一容易错的地方：$BD$ 与 $\angle A$ 是一对（$BD$ 在 $A$ 的对面），$AB$ 与 $\angle ADB$ 是一对。

② 代数据。 $AB=4$、$\angle ADB=135^\circ$（即 $\frac{3\pi}{4}$）、$\sin\angle BAD=\sin\angle BAC=\frac{3}{5}$：

$$BD=\frac{AB\cdot\sin\angle BAD}{\sin\angle ADB} =\frac{4\times\frac{3}{5}}{\sin135^\circ} =\frac{\frac{12}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{12}{5}\times\frac{2}{\sqrt{2}} =\frac{12}{5}\times\sqrt{2}$$ $$\boxed{BD=\frac{12\sqrt{2}}{5}}$$

（$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 这一步值得单独记：除以 $\frac{\sqrt2}{2}$ 就是乘 $\sqrt2$。）

③ 第二个空：把 $\angle ABD$ 写成差角。 由内角和，$\angle ABD=45^\circ-\angle BAC$，于是

$$\cos\angle ABD=\cos\left(45^\circ-\angle BAC\right) =\cos45^\circ\cos\angle BAC+\sin45^\circ\sin\angle BAC$$

差角的余弦中间是加号（和角才是减号）。代入 $\cos\angle BAC=\frac45$、$\sin\angle BAC=\frac35$：

$$\cos\angle ABD=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{5} =\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{7}{5} =\frac{7\sqrt{2}}{10}$$ $$\boxed{\cos\angle ABD=\frac{7\sqrt{2}}{10}}$$

④ 官方写法的另一种读法。 参考答案把它写成 $\cos\angle ABD=\cos(\angle BDC-\angle BAC)$，这是同一件事：$\angle BDC$ 是 $\triangle ABD$ 的外角，等于两个不相邻内角之和，即 $\angle BDC=\angle ABD+\angle BAD$，移项就是 $\angle ABD=\angle BDC-\angle BAC=45^\circ-\angle BAC$。用外角一步到位，比「补角 + 内角和」两步更快，但两条都要会：外角那句记不牢时，$180^\circ-135^\circ-A$ 是永远不会错的退路。

⑤ 自检。 $\frac{7\sqrt2}{10}\approx 0.99$，对应的角约 $8.1^\circ$；而 $\angle BAC=\arctan\frac34\approx36.9^\circ$，$45^\circ-36.9^\circ=8.1^\circ$ ✓。$BD=\frac{12\sqrt2}{5}\approx3.39$，介于 $BH=2.4$ 与 $AB=4$ 之间 ✓（$BD$ 是从 $B$ 到斜边上一点的距离，必然不短于垂线段 $BH$、不长于两条斜线 $BA$、$BC$ 中的较长者）。

这条路的动作：先算白给的量（$AC$、$\sin A$、$\cos A$）→ 把 $45^\circ$ 补成 $135^\circ$ → 一条正弦定理 → 内角和写成差角。

解法二：作高 $BH$：$45^\circ$ 把 $\triangle BHD$ 变成等腰直角

不用正弦定理，只用初中的直角三角形，两步就把 $BD$ 逼出来。

① 斜边上的高。 面积算两遍（$\frac12\times$ 两直角边 $=\frac12\times$ 斜边 $\times$ 高）：

$$\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times AC\times BH \quad\Longrightarrow\quad BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}$$

顺带把垂足的位置也记下来（同样是初中的射影关系，或在 $\triangle ABH$ 里用勾股）：

$$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\frac{16}{5}$$

② $45^\circ$ 的真正含义：$\triangle BHD$ 是等腰直角三角形。 $BH\perp AC$ 给了 $\angle BHD=90^\circ$，而 $\angle BDH=\angle BDC=45^\circ$（$H$ 在 $D$ 与 $C$ 之间，所以这两个角是同一个），于是第三个角也是 $45^\circ$：

$$HD=BH=\frac{12}{5},\qquad BD=\sqrt{2}\,BH=\frac{12\sqrt{2}}{5}$$

一眼就出答案——这就是这条路的价值：$45^\circ$ 遇上垂足，等腰直角三角形送上门，$\sqrt2$ 是白拿的。

③ 顺手定出 $D$ 的位置。 $D$ 在 $A$ 与 $H$ 之间（因为 $\angle ADB=135^\circ$ 是钝角，$D$ 必在垂足的靠 $A$ 一侧），所以

$$AD=AH-HD=\frac{16}{5}-\frac{12}{5}=\frac{4}{5}$$

④ 第二个空：这回连三角恒等变换都不用。 $\triangle ABD$ 的三条边现在全知道（$AB=4$、$BD=\frac{12\sqrt2}{5}$、$AD=\frac45$），余弦定理直接给出夹在 $AB$、$BD$ 之间的那个角：

$$\cos\angle ABD=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2\cdot AB\cdot BD} =\frac{16+\frac{288}{25}-\frac{16}{25}}{2\times4\times\frac{12\sqrt{2}}{5}} =\frac{16+\frac{272}{25}}{\frac{96\sqrt{2}}{5}} =\frac{\frac{672}{25}}{\frac{96\sqrt{2}}{5}}$$ $$=\frac{672}{25}\times\frac{5}{96\sqrt{2}} =\frac{672}{480\sqrt{2}} =\frac{7}{5\sqrt{2}} =\frac{7\sqrt{2}}{10}$$

与解法一一致 ✓。

⑤ 也可以走「直角三角形里读角」这条更短的路。 在 $\triangle ABH$ 里 $\cos\angle ABH=\frac{BH}{AB}=\frac{12/5}{4}=\frac35$、$\sin\angle ABH=\frac{AH}{AB}=\frac45$；而 $\angle ABD=\angle ABH-\angle DBH=\angle ABH-45^\circ$（$\triangle BHD$ 等腰直角给了 $\angle DBH=45^\circ$），于是

$$\cos\angle ABD=\cos\angle ABH\cos45^\circ+\sin\angle ABH\sin45^\circ =\left(\frac35+\frac45\right)\times\frac{\sqrt2}{2}=\frac{7\sqrt2}{10}$$

注意这里的 $\frac35$、$\frac45$ 与解法一的 $\frac45$、$\frac35$ 恰好换了位置——因为 $\angle ABH=90^\circ-\angle BAC$，正余弦互换。两条算下来同一个答案，正好互为验算。

这条路的动作：作高 → 面积两算出 $BH$ → $45^\circ$ 认出等腰直角 → $BD=\sqrt2\,BH$；第二空要么三边余弦定理，要么在直角三角形里读出角再拆。

避坑

三句话收尾：

• 点落在边上，先把补角写出来：$\angle BDC=45^\circ\Rightarrow\angle ADB=135^\circ$。正弦相同是陷阱的掩护色，写出来就不会掉进去。
• 直角三角形里的边角关系是白给的：$AC=5$、$\sin A=\frac35$、$\cos A=\frac45$、$BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}$，一个都不用「解」。
• 看见 $45^\circ$ 想垂足：$45^\circ$ 配一条垂线就是等腰直角三角形，$\sqrt2$ 直接出来——比正弦定理还快一步。