作高拆成直角三角形

解题套路

1. 挑底边：挑那条两端的角都已知（或最好算）的边作底——通常就是待求的那条边，或题目给了长度的那条边。
2. 作高：从对面的顶点向底边（或它的延长线）作垂线，垂足记为 $D$。斜三角形被切成两个直角三角形。
3. 把两段底分别用高表出：设高为 $h$，则 $AD=h\cot A$、$DB=h\cot B$（角为钝角时某一段落在延长线外，取负号）。
4. 拼回去：$AD+DB=$ 底边长，得到 $h$ 与底边的关系；面积则是 $S=\dfrac12\times$ 底 $\times h$。

由 3、4 两步立刻得到一条很好用的式子：底边 $c$ 上的高

为什么好用

• 不需要正弦定理与余弦定理，只用直角三角形里「对边 / 邻边」的定义——在只知道两个角与一条边时，往往比联立定理更快。
• 高一旦画出来，面积、垂足位置、点到直线的距离这些量同时到手，一图多用。
• 钝角三角形里垂足会跑到边的延长线上——这不是麻烦，反而是提醒：先判断三角形的形状再落笔，图画对了式子就不会错。

注意

• 垂足在不在线段内，取决于两端的角是否都是锐角。有钝角时，那一端的 $\cot$ 为负，公式 $AD+DB=c$ 依然成立（代数上自动处理），但画图要画对。
• 高不是中线也不是角平分线，三者的垂足/交点一般不重合，别混用。

用在本题

2024 年新课标Ⅰ卷第 15 题（2）：已知 $B=\dfrac{\pi}{3}$、$C=\dfrac{\pi}{4}$，故 $A=\dfrac{5\pi}{12}$，面积为 $3+\sqrt3$，求 $c=AB$。以 $AB$ 为底作高 $CD=h$，则 $AD=h\cot A=(2-\sqrt3)h$、$DB=h\cot B=\dfrac{\sqrt3}{3}h$，两段相加得 $h=\dfrac{(3+\sqrt3)c}{4}$，于是 $S=\dfrac12ch=\dfrac{(3+\sqrt3)c^{2}}{8}=3+\sqrt3$，解得 $c^2=8$、$c=2\sqrt2$——全程没用正弦定理。