浙江 2010 · 数学 q08

冷启动：要的其实只是一个比值

题面问的是双曲线的渐近线，四个选项给的是 $3x\pm4y=0$、$3x\pm5y=0$、$4x\pm3y=0$、$5x\pm4y=0$。把它们统一改写成斜率式，

$$y=\pm\frac{3}{4}x ,\qquad y=\pm\frac{3}{5}x ,\qquad y=\pm\frac{4}{3}x ,\qquad y=\pm\frac{5}{4}x ,$$

——注意 $px\pm qy=0$ 给出的斜率是 $\dfrac{p}{q}$，所以四个选项其实就是四个候选的 $\dfrac{b}{a}$：$\dfrac{3}{4}$、$\dfrac{3}{5}$、$\dfrac{4}{3}$、$\dfrac{5}{4}$。这道题要的不是 $a$、不是 $b$，只是它们的比。 于是所有条件都只需要化成 $a$ 与 $c$ 之间的一条齐次关系，最后同除 $a^{2}$ 就得到关于 $e$ 的方程。

两个条件都是长度，而且都落在同一个三角形里。 把 $P$ 与两个焦点连起来，得到 $\triangle PF_{1}F_{2}$：

• $\left|F_{1}F_{2}\right|=2c$ 是焦距，一条边现成就带着 $c$；
• $\left|PF_{1}\right|$、$\left|PF_{2}\right|$ 是两条焦半径，双曲线的定义把它们的差钉死成 $2a$；
• 「$F_{2}$ 到直线 $PF_{1}$ 的距离」不是什么新东西——它就是这个三角形里 $PF_{1}$ 边上的高。

先把三条边都用 $a$、$c$ 写出来。 $P$ 在右支上，离左焦点远、离右焦点近，所以

$$\left|PF_{1}\right|-\left|PF_{2}\right|=2a .$$

题设又说 $\left|PF_{2}\right|=\left|F_{1}F_{2}\right|=2c$，代进去：

$$\left|PF_{1}\right|=2a+2c ,\qquad \left|PF_{2}\right|=\left|F_{1}F_{2}\right|=2c .$$

最后一个条件：实轴长是 $2a$，不是 $a$。所以那条高

$$h=2a .$$

三条边加一条高，全用 $a$、$c$ 表出来了，剩下的只是把它们摆进一个直角三角形。

解法一：原卷路线——等腰三角形三线合一，垂足正落在中点上

先认出这是个等腰三角形。 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 里

$$\left|F_{2}P\right|=\left|F_{2}F_{1}\right|=2c ,$$

两条边都从 $F_{2}$ 出发、都等于 $2c$——以 $F_{2}$ 为顶角、以 $PF_{1}$ 为底边的等腰三角形。

于是垂足不是随便一个点。 等腰三角形顶角处的高、中线、角平分线三线合一，所以从 $F_{2}$ 向底边 $PF_{1}$ 作的垂线，垂足 $H$ 恰好是底边的中点：

$$\left|F_{1}H\right|=\frac{1}{2}\left|PF_{1}\right|=\frac{2a+2c}{2}=a+c .$$

这一步是全题的枢纽。题设只说了「距离等于实轴长」，没说垂足在哪；是「两腰等长」这个条件把垂足钉在了中点上，$\left|F_{1}H\right|$ 才跟着变成一个用 $a$、$c$ 写得出来的量。

最后一步就是勾股。 $F_{2}H\perp PF_{1}$，故 $\triangle F_{1}HF_{2}$ 是直角三角形，斜边是 $F_{1}F_{2}$：

$$\left|F_{1}H\right|^{2}+\left|F_{2}H\right|^{2}=\left|F_{1}F_{2}\right|^{2} \quad\Longrightarrow\quad \left(a+c\right)^{2}+\left(2a\right)^{2}=\left(2c\right)^{2} .$$

展开整理：

$$a^{2}+2ac+c^{2}+4a^{2}=4c^{2} \quad\Longrightarrow\quad 5a^{2}+2ac-3c^{2}=0 .$$

同除 $a^{2}$ 降成一元二次。 记 $e=\dfrac{c}{a}$：

$$3e^{2}-2e-5=0 \quad\Longrightarrow\quad \left(3e-5\right)\left(e+1\right)=0 .$$

双曲线要 $e>1$，故 $e=-1$ 舍去，

$$e=\frac{5}{3} .$$

回到要问的那个比值。 由 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 得

$$\frac{b}{a}=\sqrt{e^{2}-1}=\sqrt{\frac{25}{9}-1}=\frac{4}{3} ,$$

渐近线是

$$y=\pm\frac{4}{3}x \quad\Longleftrightarrow\quad 4x\pm3y=0 .$$

答案 C。

「右支」这两个字不是废话。 若把 $P$ 换到左支上，定义那一步要反号：$\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|=2a$，于是 $\left|PF_{1}\right|=2c-2a$，$\left|F_{1}H\right|=c-a$，勾股给

$$\left(c-a\right)^{2}+\left(2a\right)^{2}=\left(2c\right)^{2} \quad\Longrightarrow\quad 3e^{2}+2e-5=0 \quad\Longrightarrow\quad \left(3e+5\right)\left(e-1\right)=0 ,$$

两根 $e=1$ 与 $e=-\frac{5}{3}$ 都不满足 $e>1$——这组条件在左支上根本无解。脱定义那层绝对值之前先看一眼点在哪一支，这道题给的正是一个「反了就彻底走不通」的例子。

解法二：不作高也行——距离读成正弦，余弦定理补上余弦

怎么想到的。 上一条路的关键一跃是「等腰 $\Rightarrow$ 三线合一 $\Rightarrow$ 垂足是中点」。这是个漂亮的几何洞察，但也是个要想到才有的洞察。如果一时没看出来，还有一条纯代数的路：三角形的三条边已经全知道了，把那个「距离」也翻译成同一个角的三角函数，再用 $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ 缝起来。

距离就是正弦。 点 $F_{2}$ 到直线 $PF_{1}$ 的距离，等于 $\left|PF_{2}\right|$ 乘上它与直线夹角的正弦：

$$d=\left|PF_{2}\right|\sin\angle F_{1}PF_{2}=2c\sin P=2a \quad\Longrightarrow\quad \sin P=\frac{a}{c}=\frac{1}{e} .$$

余弦由三条边直接给出。 在 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 里对 $\angle P$ 用余弦定理：

$$\cos P=\frac{\left|PF_{1}\right|^{2}+\left|PF_{2}\right|^{2}-\left|F_{1}F_{2}\right|^{2}}{2\left|PF_{1}\right|\left|PF_{2}\right|} .$$

这里出现了本题最省事的一次抵消：$\left|PF_{2}\right|=\left|F_{1}F_{2}\right|=2c$，分子的后两项正好消掉，只剩

$$\cos P=\frac{\left|PF_{1}\right|^{2}}{2\left|PF_{1}\right|\left|PF_{2}\right|} =\frac{\left|PF_{1}\right|}{2\left|PF_{2}\right|} =\frac{2a+2c}{4c}=\frac{a+c}{2c} .$$

（顺带说一句：$\cos P=\dfrac{\text{底边的一半}}{\text{腰}}$ 正是「垂足落在中点」那件事的代数版本——这条路没有跳过那个几何事实，只是把它算了出来而不是看了出来。）

缝起来。

$$\sin^{2}P+\cos^{2}P=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(a+c\right)^{2}}{4c^{2}}=1 .$$

两边乘 $4c^{2}$：

$$4a^{2}+\left(a+c\right)^{2}=4c^{2} ,$$

与解法一那条勾股式一字不差。后面同样是 $3e^{2}-2e-5=0$、$e=\dfrac{5}{3}$、$\dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{3}$，答案 C。

这条路多给了什么。 它把「三条边全知道」这件事用满了：知道三条边，任何一个角的余弦都是现成的；而「点到直线的距离」只要挂在一条已知长度的线段上，就总能读成同一个角的正弦。这套读法在没有等腰的题里照样能用，而三线合一那一招会立刻失效。

解法三：四个选项各代一次——把渐近线倒推回 $e$，看那条勾股关系立不立

怎么想到的。 这是选择题，四个选项各自给死了一个 $\dfrac{b}{a}$，也就各自给死了一个 $e$。与其从条件正着解出 $e$，不如把四个 $e$ 逐个塞回那条关系里，看谁能让等号成立。

先把要验的那条关系立起来。 代入法验的是一条等式，这条等式必须先自己站住，否则四刀切的是空气。它只要三步：

1. 两条焦半径：$P$ 在右支上，$\left|PF_{1}\right|-\left|PF_{2}\right|=2a$；又 $\left|PF_{2}\right|=\left|F_{1}F_{2}\right|=2c$，故 $\left|PF_{1}\right|=2a+2c$。
2. 垂足是中点：$\triangle PF_{1}F_{2}$ 以 $F_{2}$ 为顶角、两腰都是 $2c$，等腰三角形三线合一，故 $F_{2}$ 到底边 $PF_{1}$ 的垂足 $H$ 是底边中点，$\left|F_{1}H\right|=\dfrac{2a+2c}{2}=a+c$。
3. 勾股：$\left|F_{2}H\right|$ 就是题设那个距离 $=2a$，于是在 $Rt\triangle F_{1}HF_{2}$ 里

$$\left(a+c\right)^{2}+\left(2a\right)^{2}=\left(2c\right)^{2} .$$

（这三步与解法一逐字相同——代入法省的是解方程那一半，不是列方程那一半。）

再把它写成只含 $e$ 的一句话。 取 $a=1$（只求比值，尺度随便挑），则 $c=e$，上面那条关系

$$\left(1+e\right)^{2}+4=4e^{2}$$

移项成

$$f(e):=\left(1+e\right)^{2}+4-4e^{2}=-3e^{2}+2e+5=-\left(3e-5\right)\left(e+1\right) ,$$

要的就是 $f(e)=0$。

四个选项逐个代。 由 $px\pm qy=0$ 得 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{p}{q}$，再由 $e=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}$：

(C) 那一行值得手算一遍：$e=\dfrac{5}{3}$ 时

$$\left(1+\tfrac{5}{3}\right)^{2}+4-4\cdot\tfrac{25}{9} =\frac{64}{9}+\frac{36}{9}-\frac{100}{9}=0 . \checkmark$$

答案 C。

这条路多给了什么。 它顺手把「会不会有第二个答案」也答了：$f(e)=-\left(3e-5\right)\left(e+1\right)$ 在 $e>1$ 上只有 $e=\dfrac{5}{3}$ 一个零点，且 $f$ 在那里由正变负、严格递减——所以合题意的离心率唯一，四个选项里不可能出现第二个过关的。代入法在这里不是碰运气，是把一条单调的曲线切了四刀。