焦点三角形列式

解题套路

1. 连成三角形：曲线上取一点 $M$，与两焦点 $F_1$、$F_2$ 连线，得 $\triangle MF_1F_2$。它的三条边是 $|MF_1|$、$|MF_2|$（两条焦半径）与 $|F_1F_2|=2c$（焦距）——三条边里已经含着 $c$。
2. 补上定义那一条：椭圆有 $|MF_1|+|MF_2|=2a$，双曲线有 $\bigl||MF_1|-|MF_2|\bigr|=2a$。于是两条焦半径的和或差也是已知的，$a$ 随之进场。
3. 在三角形内列式：
   • 焦半径与 $x$ 轴垂直（点在通过焦点的竖直弦上）时是直角三角形，用勾股定理；
   • 一般情形给出 $\angle F_1MF_2$ 时用余弦定理 $|F_1F_2|^2=|MF_1|^2+|MF_2|^2-2|MF_1||MF_2|\cos\angle F_1MF_2$；
   • 给面积时补一条 $S=\dfrac12|MF_1||MF_2|\sin\angle F_1MF_2$。
4. 凑比值：把式子整理成只含 $\dfrac{c}{a}$（或 $\dfrac{b}{a}$）的形式，离心率就出来了。

为什么好用

焦半径、焦距、离心率这些量本来散落在「定义」「标准方程」「几何性质」三处，焦点三角形把它们收进同一张图：一条边是 $2c$，另两条边的和（差）是 $2a$，于是任何一个关于焦半径的条件，都能就地换成 $a$ 与 $c$ 的等式。

它常常比设点坐标联立方程短得多——尤其当题目给的是长度、角度、面积这类纯几何量、而不是坐标时。

用在本题

2024 年新课标Ⅰ卷第 12 题：过右焦点作竖直弦交双曲线于 $A$、$B$，$|F_1A|=13$、$|AB|=10$。由对称性 $|AF_2|=5$，$\triangle AF_2F_1$ 在 $F_2$ 处为直角，于是 $2c=\sqrt{13^2-5^2}=12$；再由定义 $2a=13-5=8$。两条边长直接兑成 $c=6$、$a=4$，$e=\dfrac32$——全程不需要 $b$。