浙江 2021 · 数学 q16

题面

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$

$F_{1} (- c, 0), \quad F_{2} (c, 0) (c > 0)$

$F_{1}$

$\left(x - \frac{1}{2} c\right)^2 + y^2 = c^2$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$ ，且

$PF_{2} \perp x$ 轴，则该直线的斜率是____，椭圆的离心率是____。

答案

(1). $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ (2). $\frac{\sqrt{5}}{5}$

解析

分析

不妨假设 $c = 2$ ，根据图形可知， $\sin \angle PF_1F_2 = \frac{2}{3}$ ，再根据同角三角函数基本关系即可求出$k = \tan \angle PF_1F_2 = \frac{2}{5}\sqrt{5}$ ；再根据椭圆的定义求出 $a$ ，即可求得离心率.

如图所示：不妨假设 c=2 ，设切点为 B ，

$\sin \angle P F_{1} F_{2} = \sin \angle B F_{1} A = \frac{\left| A B \right|}{\left| F_{1} A \right|} = \frac{2}{3}, \tan \angle P F_{1} F_{2} = \frac{2}{\sqrt{3^{2} - 2^{2}}} = \frac{2}{5} \sqrt{5}$

所以 $k = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, 由 $k = \frac{\left|PF_{2}\right|}{\left|F_{1}F_{2}\right|}, \left|F_{1}F_{2}\right| = 2c = 4$, 所以 $\left|PF_{2}\right| = \frac{8\sqrt{5}}{5}, \left|PF_{1}\right| = \left|PF_{2}\right| \times \frac{1}{\sin\angle PF_{1}F_{2}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$,

于是 $2a = \left|PF_{1}\right| + \left|PF_{2}\right| = 4\sqrt{5}$，即 $a = 2\sqrt{5}$，所以 $e = \frac{c}{a} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

故答案为： $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .