浙江 2021 · 数学 q16

读题：这道题在说什么

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的两个焦点是 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$。过 $F_1$ 作一条直线，这条直线与圆 $\left(x-\frac{c}{2}\right)^2+y^2=c^2$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$，且 $PF_2\perp x$ 轴。

求两样东西：直线 $F_1P$ 的斜率 $k$，以及椭圆的离心率 $e$。

关键约束的几何意义：

• 圆心 $A\!\left(\frac{c}{2},0\right)$ 在 $x$ 轴上，半径为 $c$。注意 $|F_1A|=\frac{c}{2}+c=\frac{3c}{2}$，而半径是 $c$——$F_1$ 在圆外，切线存在。
• $PF_2\perp x$ 轴意味着 $P$ 的横坐标就是 $c$（与 $F_2$ 相同），于是 $\triangle PF_1F_2$ 在 $F_2$ 处是直角。

解法一：焦点三角形与椭圆定义

怎么想到的。 题目给了「$PF_2\perp x$ 轴」这个条件，它直接把 $\triangle PF_1F_2$ 变成直角三角形——有直角、有焦距 $2c$、有斜率（即 $\tan\angle PF_1F_2$），三条边全能用 $c$ 表示。而椭圆定义 $|PF_1|+|PF_2|=2a$ 恰好把两边之和与 $a$ 挂钩。这是焦点三角形列式的标准触发条件。

第一步：由切线条件求斜率

设切点为 $B$。因为 $F_1B$ 是圆的切线，所以 $AB\perp F_1B$（半径垂直于切线）。

在直角 $\triangle ABF_1$ 中：

$$|F_1A|=\frac{3c}{2},\qquad |AB|=c\ (\text{半径})$$

于是

$$\sin\angle BF_1A=\frac{|AB|}{|F_1A|}=\frac{c}{\frac{3c}{2}}=\frac{2}{3}$$

而 $\angle BF_1A$ 就是直线 $F_1P$ 与 $x$ 轴的夹角 $\angle PF_1F_2$（$B$ 在 $F_1P$ 上，$A$ 在 $x$ 轴上）。由同角三角函数的基本关系：

$$\cos\angle PF_1F_2=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$k=\tan\angle PF_1F_2=\frac{\sin}{\cos}=\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

第二步：用焦点三角形求离心率

$PF_2\perp x$ 轴，所以 $\triangle PF_1F_2$ 在 $F_2$ 处为直角，$|F_1F_2|=2c$ 是斜边在 $x$ 轴上的投影方向的邻边：

$$|PF_2|=|F_1F_2|\cdot\tan\angle PF_1F_2=2c\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}c$$ $$|PF_1|=\frac{|PF_2|}{\sin\angle PF_1F_2}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}c}{\frac{2}{3}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}c$$

由椭圆定义：

$$2a=|PF_1|+|PF_2|=\frac{6\sqrt{5}}{5}c+\frac{4\sqrt{5}}{5}c=2\sqrt{5}\,c$$

所以 $a=\sqrt{5}\,c$，离心率

$$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{\sqrt{5}\,c}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

解法二：坐标代入曲线方程

怎么想到的。 解法一靠的是「看出」焦点三角形里的几何关系。如果看不出那层正弦，还有一条更机械的路：把切线条件翻译成「圆心到直线的距离 = 半径」（点到直线的距离公式），再把 $P$ 的坐标直接代入椭圆方程。全程是代数运算，不需要几何直觉。

第一步：距离公式求斜率

直线 $F_1P$ 过 $F_1(-c,0)$，设斜率为 $k$，则方程为 $y=k(x+c)$，即 $kx-y+kc=0$。

圆心 $A\!\left(\frac{c}{2},0\right)$ 到直线的距离等于半径 $c$：

$$\frac{\left|k\cdot\frac{c}{2}-0+kc\right|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\frac{3kc}{2}}{\sqrt{k^2+1}}=c$$

约去 $c$（$c>0$）：$\frac{3k}{2}=\sqrt{k^2+1}$（取 $k>0$，因为直线向第一象限走）。

两边平方：$\frac{9k^2}{4}=k^2+1$，解得 $5k^2=4$，即

$$k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

第二步：代入椭圆方程求离心率

$P$ 在 $x=c$ 的竖直线上（$PF_2\perp x$ 轴），又在直线 $y=k(x+c)$ 上，所以

$$P=\left(c,\;k\cdot 2c\right)=\left(c,\;\frac{4\sqrt{5}}{5}c\right)$$

代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，并用 $b^2=a^2-c^2$：

$$\frac{c^2}{a^2}+\frac{\frac{16}{5}c^2}{a^2-c^2}=1$$

设 $e=\frac{c}{a}$，则 $c^2=e^2a^2$，$a^2-c^2=a^2(1-e^2)$：

$$e^2+\frac{16e^2}{5(1-e^2)}=1$$

通分：$5e^2(1-e^2)+16e^2=5(1-e^2)$

$$5e^2-5e^4+16e^2=5-5e^2$$ $$5e^4-26e^2+5=0$$

解关于 $e^2$ 的二次方程：$e^2=\frac{26\pm\sqrt{676-100}}{10}=\frac{26\pm 24}{10}$。

$e^2=5$（舍，$e<1$）或 $e^2=\frac{1}{5}$。故

$$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

两条路的比较

• 解法一靠几何眼光：看出 $\triangle PF_1F_2$ 是直角三角形后，两条焦半径各用一个三角比就出来了，椭圆定义一收即得。全程没有展开四次方程。
• 解法二靠代数机器：距离公式 + 代入 + 通分，步骤多但每步都是确定性的，不需要「看出」什么。代价是最后要解一个 $e^2$ 的二次方程并舍根。

考场上如果一眼看到了焦点三角形的直角，走解法一最快（3 行出结果）；如果没看到，解法二也完全能在 5 分钟内机械推完。

🕳️ 避坑

• 椭圆是 $a^2=b^2+c^2$（$a$ 最大），双曲线是 $c^2=a^2+b^2$（$c$ 最大）。本题代入椭圆方程时用 $b^2=a^2-c^2$，别写成 $b^2=c^2-a^2$。
• 切线条件里 $|F_1A|=\frac{3c}{2}$ 而不是 $\frac{c}{2}$——$F_1$ 在 $(-c,0)$，$A$ 在 $\left(\frac{c}{2},0\right)$，距离是 $\frac{c}{2}+c=\frac{3c}{2}$。少加那个 $c$ 会让 $\sin$ 变成 $\frac{2}{1}=2$，当场发现不对。
• 解法二平方那一步引入了增根 $e^2=5$（对应 $e>1$，是双曲线的离心率范围），必须用 $0<e<1$ 舍掉。