浙江 2024 · 数学 q12

冷启动：先把题面画出来

假设你刚学完双曲线的标准方程。题面只有三句话：

1. 曲线是 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$，左、右焦点是 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$；
2. 过右焦点 $F_2$ 作一条平行于 $y$ 轴的直线，它交曲线于 $A$、$B$；
3. $|F_1A|=13$，$|AB|=10$。求 $e=\dfrac{c}{a}$。

动手画一下：一条竖直线 $x=c$ 穿过右焦点，把右边那一支切出上下对称的两个交点 $A$、$B$；再把 $A$ 与左焦点 $F_1$ 连起来，图上就出现了一个三角形 $AF_2F_1$。题目给的 $13$ 与 $10$，全都长在这个三角形上。

离心率 $e=\dfrac{c}{a}$ 要的是「$c$ 与 $a$ 各是多少」（严格说只要它们的比，本题两个都能算出来），所以整道题就剩一件事：把图上的长度翻译成 $a$ 与 $c$。

下面两条路的分歧，就在这一步的翻译方式：用不用双曲线的定义。

解法一：定义法

怎么想到的。 图上出现了 $A$ 到两个焦点的距离（$|AF_1|$ 与 $|AF_2|$）——双曲线的定义讲的正是这两条焦半径的关系。看到两条焦半径同时出场，就该条件反射地把定义搬出来。

① 先把题面读成两句几何事实。 那条直线过 $F_2(c,0)$ 且平行于 $y$ 轴，即直线 $x=c$。双曲线关于 $x$ 轴对称，所以它与曲线的两个交点 $A$、$B$ 也关于 $x$ 轴对称，$F_2$ 恰是弦 $AB$ 的中点：

$$|AF_2|=\frac{|AB|}{2}=\frac{10}{2}=5 .$$

又因 $AB\perp x$ 轴而 $F_1$、$F_2$ 都在 $x$ 轴上，故 $\angle AF_2F_1=90^\circ$：$\triangle AF_2F_1$ 是直角三角形，斜边 $|F_1A|=13$、一条直角边 $|AF_2|=5$。（不妨设 $A$ 在 $x$ 轴上方，$B$ 在下方；两者到 $F_1$ 的距离相等，取哪个都一样。）

② 定义定出 $a$。 双曲线的定义是：曲线上任一点 $M$ 满足

$$\bigl||MF_1|-|MF_2|\bigr|=2a .$$

绝对值里正负哪个，取决于 $M$ 在哪一支上。本题的 $A$ 横坐标为 $c>0$，在右支，离右焦点近、离左焦点远，所以 $|AF_1|>|AF_2|$，绝对值直接脱成

$$|AF_1|-|AF_2|=2a\;\Longrightarrow\;2a=13-5=8\;\Longrightarrow\;a=4 .$$

③ 勾股定出 $c$。 回到 ① 里那个直角三角形 $AF_2F_1$：

$$|F_1F_2|^2=|F_1A|^2-|AF_2|^2=13^2-5^2=169-25=144\;\Longrightarrow\;|F_1F_2|=12 .$$

而 $|F_1F_2|$ 就是焦距 $2c$，所以 $c=6$。（$13$、$12$、$5$ 正是那组最眼熟的勾股数。）

④ 收尾。

$$e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

这条路全程没有碰过 $b$。 值得留意——很多人一看见双曲线就先去凑 $b$，其实离心率只与 $a$、$c$ 有关。

如果你更习惯官方那一步：由 $|AF_2|=\dfrac{b^2}{a}=5$ 得 $b^2=4\times5=20$，再用 $c^2=a^2+b^2=16+20=36$ 得 $c=6$。结论一样，只是绕道 $b$ 走了一趟；它和上面的 ③ 属于同一条路的两种收尾。

解法二：坐标代入法

怎么想到的。 万一考场上「双曲线定义」这一条卡壳了（或者你记不准绝对值该往哪边脱），还有一条不依赖定义的退路：$A$ 是曲线上的一个点，那就老老实实把它的坐标写出来，让方程自己说话。 这就是基本量法——把所有条件都翻译成 $a$、$b$、$c$ 的等式，再解方程组。

① 写出 $A$ 的坐标。 $A$ 在直线 $x=c$ 上，代进曲线方程：

$$\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \;\Longrightarrow\; y^2=b^2\left(\frac{c^2}{a^2}-1\right)=b^2\cdot\frac{c^2-a^2}{a^2}=\frac{b^4}{a^2} \;\Longrightarrow\; y=\pm\frac{b^2}{a},$$

最后一步用了 $c^2-a^2=b^2$。于是 $A\left(c,\dfrac{b^2}{a}\right)$、$B\left(c,-\dfrac{b^2}{a}\right)$，而

$$|AB|=\frac{2b^2}{a}=10\;\Longrightarrow\;\frac{b^2}{a}=5 . \tag{i}$$

② 把 $|F_1A|=13$ 也翻译成方程。 用两点间距离公式：

$$|F_1A|^2=(c-(-c))^2+\left(\frac{b^2}{a}\right)^2=4c^2+5^2=169\;\Longrightarrow\;c^2=36\;\Longrightarrow\;c=6 . \tag{ii}$$

③ 解出 $a$。 现在把 $(i)$ 里的 $b^2$ 换成 $c^2-a^2=36-a^2$：

$$\frac{36-a^2}{a}=5\;\Longrightarrow\;a^2+5a-36=0\;\Longrightarrow\;(a+9)(a-4)=0 .$$

$a>0$，故 $a=-9$ 舍去，$a=4$。（顺带 $b^2=36-16=20$，与 $(i)$ 一致。）

$$e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

这两条路差在哪。 解法一把已知长度直接读成几何量：$13-5=8$ 是 $2a$，$\sqrt{13^2-5^2}=12$ 是 $2c$，两次心算就完；代价是必须判准 $A$ 在哪一支、绝对值往哪边脱。解法二一个几何性质都不用记，全靠「点在曲线上就代进方程」，稳，但要多解一个一元二次方程、还得记住舍根。考场上先想解法一，卡住了立刻切解法二——它永远走得通。

🕳️ 避坑

• 双曲线的定义带绝对值：$\bigl||MF_1|-|MF_2|\bigr|=2a$。本题的 $A$ 在右支才有 $|AF_1|-|AF_2|=2a$；若点落在左支，同一式子要反过来写。上来就写 $|AF_1|-|AF_2|=2a$ 而不说明理由，是这道题最常见的裸奔。
• 别把 $a^2=b^2+c^2$ 用到双曲线上。椭圆里 $a$ 最大，双曲线里 $c$ 最大（$c^2=a^2+b^2$），所以双曲线的 $e>1$——本题算出 $\dfrac32>1$，正好可以回头当一次自检；若算出小于 $1$ 的数，一定是这条关系用反了。
• $|AB|=10$ 是整条弦，$|AF_2|=5$ 才是半条。把 $10$ 当成 $|AF_2|$ 代进勾股，会得到 $\sqrt{169-100}=\sqrt{69}$ 这种开不尽的数——结果丑得离谱时，先回头检查是不是把整体当成了一半。
• 解法二解出 $a^2+5a-36=0$ 后有两个根，$a=-9$ 必须舍：$a$ 是半实轴长，题面里白纸黑字写着 $a>0$。设了参数就要盯住它的取值范围，这不是本题特有的讲究。