浙江 2013 · 数学 q09

冷启动：三个条件，各管一件事

题面看着几何味很重（两条曲线、四个点、一个四边形），但把它翻译一遍就露馅了。 记

$$x=|AF_{1}|,\qquad y=|AF_{2}| ,$$

那么三个条件分别是：

于是本题只是一句代数：

已知 $x+y$ 与 $x^{2}+y^{2}$，求 $|y-x|$。

剩下的全是把常数算出来。

第一件事：把公共的 $c$ 钉死

$C_{1}:\ \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，所以 $a_{1}=2$、$b_{1}=1$，而椭圆里

$$c^{2}=a_{1}^{2}-b_{1}^{2}=4-1=3,\qquad c=\sqrt3 ,$$

两个焦点是 $F_{1}(-\sqrt3,\,0)$、$F_{2}(\sqrt3,\,0)$。

「公共焦点」这四个字的全部内容就是：$C_{2}$ 的 $c$ 也是 $\sqrt3$。 所以到最后还缺的只有 $C_{2}$ 的 $a_{2}$ 一个量。

第二件事：「矩形」里只有一半是新信息

四边形 $AF_{1}BF_{2}$ 的顶点是交替排的（$A$、$B$ 是一组对顶，$F_{1}$、$F_{2}$ 是另一组）。 $F_{1}$、$F_{2}$ 关于原点对称，这是白给的；而 $A$、$B$ 呢——

椭圆与双曲线都关于原点对称，所以 $A$ 是公共点时 $-A$ 也是公共点。 四个公共点每个象限恰好一个，$A$ 在第二象限，$-A$ 就落在第四象限， 那正是题面说的 $B$。于是

$$B=-A .$$

两条对角线 $AB$ 与 $F_{1}F_{2}$ 互相平分 —— $AF_{1}BF_{2}$ 是平行四边形，这件事题目不说也成立。

那么「是矩形」比「是平行四边形」多出来的，只有一条：两条对角线还得相等， 即 $|AB|=|F_{1}F_{2}|$，也就是

$$\angle F_{1}AF_{2}=90^{\circ} .$$

在直角三角形 $AF_{1}F_{2}$ 里用勾股关系：

$$x^{2}+y^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=(2c)^{2}=12 .$$

这就是那条”平方和”。

上块是几何那一面：矩形这个条件被剥到只剩一个直角。 下块是代数那一面：两个条件在 $(x,y)$ 平面上是一条直线和一个圆， 它们交出的两个点只是「谁叫 $x$、谁叫 $y$」的两种记法，而 $|y-x|$ 在两点上相同—— 这正是答案唯一的原因。

解法一：三个条件列成方程组，把两条焦半径解出来

官方走的就是这条。

第一步：列出两条方程

$A$ 在椭圆上，由椭圆的定义

$$x+y=|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a_{1}=4 \tag{1}$$

矩形给的那一条已在冷启动里备好：

$$x^{2}+y^{2}=12 \tag{2}$$

第二步：解方程组

由 $(1)$ 平方减 $(2)$：

$$2xy=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})=16-12=4,\qquad xy=2 .$$

于是 $x$、$y$ 是 $t^{2}-4t+2=0$ 的两个根，$t=2\pm\sqrt2$。

哪个是哪个？ $A$ 在第二象限，横坐标为负，离左边的 $F_{1}$ 更近，故

$$x=|AF_{1}|=2-\sqrt2\ (\approx0.586),\qquad y=|AF_{2}|=2+\sqrt2\ (\approx3.414) .$$

顺手验一下合不合理：椭圆上一点到焦点的距离必落在 $[a_{1}-c,\ a_{1}+c]=[2-\sqrt3,\ 2+\sqrt3]\approx[0.27,\,3.73]$ 里， 上面两个数都在其中 ✓。

第三步：用双曲线的定义取差

$A$ 也在 $C_{2}$ 上，而 $F_{1}$、$F_{2}$ 正是 $C_{2}$ 的焦点，所以按双曲线的定义， $C_{2}$ 的实轴长满足

$$2a_{2}=\bigl|\,|AF_{1}|-|AF_{2}|\,\bigr| .$$

脱这层绝对值之前先看清 $A$ 在哪一支：$|AF_{1}|<|AF_{2}|$，说明 $A$ 靠 $F_{1}$ 那一支（左支）， 所以要用 $|AF_{2}|-|AF_{1}|$ 而不是反过来：

$$2a_{2}=y-x=(2+\sqrt2)-(2-\sqrt2)=2\sqrt2,\qquad a_{2}=\sqrt2 .$$

（顺序写反就得 $a_{2}=-\sqrt2$，接着 $e<0$——这是本题最容易翻车的一步。）

第四步：算离心率

$C_{2}$ 与 $C_{1}$ 共用焦点，故 $C_{2}$ 的半焦距也是 $c=\sqrt3$：

$$e_{2}=\frac{c}{a_{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2} .$$

选 D。

收尾自查：双曲线里 $c^{2}=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}$，得 $b_{2}^{2}=3-2=1>0$， 即 $C_{2}:\dfrac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 确实是一条真的双曲线； 且 $e_{2}=\frac{\sqrt6}{2}\approx1.22>1$，符合双曲线离心率必大于 $1$。两条都对得上。

解法二：以和的一半换元，两个交点只是一次正负号的选择

$(1)$ 说这两个数只有一个自由度，那就别用两个字母。令

$$x=2+t,\qquad y=2-t ,$$

$x+y=4$ 于此自动成立，不必再当约束管着。代进 $(2)$：

$$(2+t)^{2}+(2-t)^{2}=8+2t^{2}=12\ \Longrightarrow\ t^{2}=2\ \Longrightarrow\ t=\pm\sqrt2 .$$

而我们要的差就是

$$|y-x|=|2t|=2\sqrt2=2a_{2} ,$$

根本不必知道 $x$、$y$ 各等于多少，更不必判断哪个大。

$t$ 的那两个正负号，对应的正是「谁叫 $x$、谁叫 $y$」的两种标号； 几何上，$x+y=4$ 是一条直线、$x^{2}+y^{2}=12$ 是一个圆，两者交出的两个点就是这两种标号 （见图的下块，它们关于 $y=x$ 互为镜像）。而 $|2t|$ 与符号无关——这就是答案唯一的理由。

于是 $a_{2}=\sqrt2$，$e_{2}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{2}$，选 D。

还能再省一步：连换元都不用，直接套恒等式

$$(y-x)^{2}=2(x^{2}+y^{2})-(x+y)^{2}=2\times12-16=8,\qquad |y-x|=2\sqrt2 .$$

一行到底。考场上这一行值 5 分。

解法三：抽象成一条通用结论 $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=2$

上面两条路里，「$4$」和「$12$」这两个数只在最后一步才起作用。 把它们抽掉，本题就是一个可以背下来的模型。

模型：椭圆与双曲线共焦点 $F_{1}$、$F_{2}$（公共半焦距 $c$），$M$ 是它们的一个公共点， 且 $\angle F_{1}MF_{2}=90^{\circ}$。设椭圆的 $a_{1}$、双曲线的 $a_{2}$，$m=|MF_{2}|$、$n=|MF_{1}|$（不妨 $m>n$），则

$$m+n=2a_{1},\qquad m-n=2a_{2},\qquad m^{2}+n^{2}=4c^{2} .$$

前两式平方相加，用 $(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=2(m^{2}+n^{2})$：

$$4a_{1}^{2}+4a_{2}^{2}=8c^{2}\ \Longrightarrow\ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=2c^{2} .$$

两边同除以 $c^{2}$，再用 $e=\dfrac{c}{a}$：

$$\boxed{\ \frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=2\ }$$

回到本题：椭圆的离心率 $e_{1}=\dfrac{c}{a_{1}}=\dfrac{\sqrt3}{2}$，故 $\dfrac{1}{e_{1}^{2}}=\dfrac43$，

$$\frac{1}{e_{2}^{2}}=2-\frac43=\frac23,\qquad e_{2}^{2}=\frac32,\qquad e_{2}=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2} .$$

选 D。

这条结论只依赖「共焦点 + 公共点处两焦半径垂直」，与两条曲线的具体方程无关， 遇到同型题可以直接用；把直角换成别的角，只需把勾股关系换成对应的余弦关系，套路不变。

四个选项分别踩的是什么坑

• A．$\sqrt2$——把椭圆的 $a_{1}=2$ 错当成公共的 $c$：$\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$。
• B．$\sqrt3$——只算到 $c=\sqrt3$ 就交卷，忘了还要除以 $a_{2}$。
• C．$\dfrac32$——这是本题真正的陷阱：$e_{2}^{2}=\dfrac32$ 算对了，却忘了开方。 解法三走到 $\dfrac{1}{e_{2}^{2}}=\dfrac23$ 的人最容易在这里停手。
• D．$\dfrac{\sqrt6}{2}$——$\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{2}$，正确。

三条提醒

1. 「共焦点」= $c$ 相同，不是 $a$ 相同、更不是 $b$ 相同。本题全部的连接点就在这一个字母上。
2. 两条 $a$、$b$、$c$ 关系式在本题各用一次，位置不能换：先用椭圆的 $c^{2}=a_{1}^{2}-b_{1}^{2}$ 算出 $c=\sqrt3$， 最后用双曲线的 $c^{2}=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}$ 验 $b_{2}^{2}=1>0$。两条记混，第一步就把 $c$ 算成 $\sqrt5$，整题作废。
3. 双曲线的定义自带一层绝对值，脱之前必须先判点在哪一支。本题 $A$ 在靠 $F_{1}$ 的那一支， 所以取的是 $|AF_{2}|-|AF_{1}|$。