椭圆的焦半径与焦点三角形

题型说明

• 常见问法：「$P$ 在椭圆上，$|PF_{1}|=\dots$，求 $\dots$」「$PF$ 的中点落在某个圆上，求直线 $PF$ 的斜率」「$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$，求 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的面积」。
• 多为填空、选择，也常作为解答题的第一问。考的不是计算量，而是认出「两条焦半径 + 焦距」这个三角形。

三件几乎每题都用的事

先用定义把两条焦半径都写出来，再看题目问的是长度、角度还是面积——这是这一类题的固定顺序。

三条出口

• 问坐标 / 斜率：由焦半径定 $x_{P}$（用上表第三行），代椭圆方程得 $y_{P}$，斜率是 $\frac{y_{P}}{x_{P}\pm c}$。
• 问角度：在焦点三角形里用余弦定理——三边 $\left|PF_{1}\right|$、$\left|PF_{2}\right|$、$2c$ 全知道，一次代入即得。若那个角所在的直线正是待求的直线，它的正切就是斜率（点在 $x$ 轴上方时取正）。
• 问面积：$S=\frac{1}{2}\left|PF_{1}\right|\left|PF_{2}\right|\sin\angle F_{1}PF_{2}=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot\left|y_{P}\right|$。两个写法都要会：给角用前者，给坐标用后者。

隐含条件常藏在这些词里

• 「$P$ 在 $x$ 轴上方」→ $y_{P}>0$，决定最后取正根；
• 「中点在某个圆上」→ 中位线的长已知（连原点即得，见「两个中点连成中位线」）；
• 「$P$ 是短轴端点」「$PF\perp x$ 轴」→ 直接给出 $x_{P}$ 或 $y_{P}$。

常见陷阱

• 左右焦半径的加减号用反：拿端点 $x_{P}=\pm a$ 代一次就能验出来。
• 忘了 $\left|PF_{1}\right|$ 的取值范围：$a-c\leqslant\left|PF\right|\leqslant a+c$。解出的距离越界说明前面错了（或这样的 $P$ 不存在）。
• 两根都留下：由 $x_{P}$ 反求 $y_{P}$ 得一正一负，题面若限定了半平面就只能留一个。