浙江 2008 · 数学 q12

冷启动：数一数这道题里一共有几条焦半径

题面：$F_{1}$、$F_{2}$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ 的两个焦点， 过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点，且 $\left|F_{2}A\right|+\left|F_{2}B\right|=12$，求 $\left|AB\right|$。

第一件事：读出 $a$。 方程里 $25>9$，所以焦点在 $x$ 轴上，

$$a^{2}=25,\quad b^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad a=5,\quad b=3,\quad c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$$

于是 $F_{1}(-4,0)$、$F_{2}(4,0)$，$2a=10$。

第二件事：这道题里有四条焦半径。 $A$ 和 $B$ 各自连向两个焦点，一共四条：

$$\left|AF_{1}\right|,\ \left|AF_{2}\right|,\ \left|BF_{1}\right|,\ \left|BF_{2}\right|$$

题目给了其中两条的和（$\left|F_{2}A\right|+\left|F_{2}B\right|=12$），问的是另外两条的和—— 因为 $A$、$F_{1}$、$B$ 在同一条直线上且 $F_{1}$ 夹在中间，

$$\left|AB\right|=\left|AF_{1}\right|+\left|BF_{1}\right|$$

第三件事：为什么 $F_{1}$ 一定夹在 $A$、$B$ 之间。 把 $F_{1}(-4,0)$ 代进椭圆的左边：

$$\frac{(-4)^{2}}{25}+\frac{0^{2}}{9}=\frac{16}{25}<1$$

小于 $1$ 说明 $F_{1}$ 在椭圆内部。过内部一点的直线与椭圆恰交于两点，且这一点必在两交点之间 （否则 $A$、$B$ 同在 $F_{1}$ 的一侧，射线 $F_{1}A$ 的反向延长线就再也碰不到椭圆， 与「另一侧也有交点」矛盾）。所以 $\left|AB\right|$ 就是两条焦半径之和，不是差。

于是全题变成一句话：四条焦半径的总和是多少？

解法一：四条焦半径之和恒为 $4a$——$\triangle ABF_2$ 的周长直接给出答案

怎么想到的。 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和恒为 $2a$——这是椭圆的定义本身。 $A$、$B$ 各用一次，就是两条这样的等式；把它们加起来，左边正是那四条焦半径的总和。

① 对 $A$、$B$ 各写一条定义式。

$$\left|AF_{1}\right|+\left|AF_{2}\right|=2a=10, \qquad \left|BF_{1}\right|+\left|BF_{2}\right|=2a=10$$

② 相加。

$$\underbrace{\left(\left|AF_{1}\right|+\left|BF_{1}\right|\right)}_{=\,\left|AB\right|} +\underbrace{\left(\left|AF_{2}\right|+\left|BF_{2}\right|\right)}_{=\,12\ \text{（题给）}} =4a=20$$

（第一个括号等于 $\left|AB\right|$，靠的是冷启动第三件事：$F_{1}$ 夹在 $A$、$B$ 之间。）

③ 解出来。

$$\left|AB\right|=20-12=\boxed{8}$$

④ 这就是「$\triangle ABF_{2}$ 的周长恒为 $4a$」。 把 ② 的左边重新分组：

$$\left|AB\right|+\left|AF_{2}\right|+\left|BF_{2}\right|=4a$$

左边正是以弦 $AB$ 为一边、另一焦点 $F_{2}$ 为顶点的那个焦点三角形的周长。 这个周长与弦的位置完全无关，永远是 $4a=20$——本题就是把它拆成 $12+8$。

⑤ 合不合理？ $\left|AB\right|=8$ 落在什么范围里？过焦点的弦最长是长轴 $2a=10$， 最短是通径 $\dfrac{2b^{2}}{a}=\dfrac{2\times 9}{5}=3.6$。$3.6<8<10$，答案落在合法区间内 ✓。 （相应地题给的 $12$ 也必须落在 $20-10=10$ 与 $20-3.6=16.4$ 之间，$12$ 确实在其中。）

解法二：一条定义也不用：把两个焦距用坐标现算出来

怎么想到的。 万一「到两焦点距离之和为 $2a$」这条定义一时想不起来， 或者想要一条不依赖任何记忆的路：椭圆上的点满足 $y^{2}=9\left(1-\frac{x^{2}}{25}\right)$， 把它代进距离公式，$\left|PF_{2}\right|$ 就只剩 $x$ 的函数——而且会化成一次式。

① 现算 $\left|PF_{2}\right|$。 设 $P(x,y)$ 在椭圆上，则 $y^{2}=9-\dfrac{9}{25}x^{2}$， 由椭圆的abc关系 得 $c=4$，$F_{2}(4,0)$：

$$\left|PF_{2}\right|^{2}=(x-4)^{2}+y^{2} =x^{2}-8x+16+9-\frac{9}{25}x^{2} =\frac{16}{25}x^{2}-8x+25 =\left(\frac{4}{5}x-5\right)^{2}$$

② 开方要判符号。 椭圆上 $|x|\leq 5$，故 $\dfrac45 x\leq 4<5$，括号里是负的，因此

$$\left|PF_{2}\right|=\left|\frac45x-5\right|=5-\frac{4}{5}x$$

同理（把 $-4$ 换成 $+4$）

$$\left|PF_{1}\right|=5+\frac{4}{5}x$$

注意两条式子的符号正相反：到右焦点的距离随 $x$ 增大而减小，到左焦点的随 $x$ 增大而增大。 把这两条记反，是这条路唯一的坑。 （顺带一提：两式相加得 $\left|PF_{1}\right|+\left|PF_{2}\right|=10=2a$—— 定义在这里是算出来的副产品，不是前提。）

③ 把题给条件翻译成 $x_{A}+x_{B}$。

$$\left|F_{2}A\right|+\left|F_{2}B\right| =\left(5-\frac45x_{A}\right)+\left(5-\frac45x_{B}\right) =10-\frac45\left(x_{A}+x_{B}\right)=12$$ $$\Longrightarrow\quad x_{A}+x_{B}=-\frac{5}{2}$$

④ 再把 $\left|AB\right|$ 写成同一个量。 因为 $F_{1}$ 夹在 $A$、$B$ 之间（冷启动第三件事），

$$\left|AB\right|=\left|AF_{1}\right|+\left|BF_{1}\right| =\left(5+\frac45x_{A}\right)+\left(5+\frac45x_{B}\right) =10+\frac45\left(x_{A}+x_{B}\right) =10+\frac45\cdot\left(-\frac52\right)=10-2=8$$

⑤ 全程没有用到「直线」。 这条路始终没写出过 $AB$ 的方程—— 因为条件与所求都只跟 $x_{A}+x_{B}$ 有关，弦的斜率是多少根本不进式子。 这也解释了为什么题目只给一个和就能定出答案。

两条路回头看。 解法一是一句话：四条焦半径之和是 $4a$，或者说 「以另一焦点为顶点的焦点三角形，周长恒为 $4a$」。解法二把椭圆的定义现场推了一遍， 顺带给出了更精细的信息——每一条焦半径单独等于多少（$5\mp\frac45x$）。 当题目问的是单条焦半径、或者要区分 $A$、$B$ 谁长谁短时，解法二的式子才够用； 本题只问两条之和，所以解法一更快。

这道题的「弦」其实存在吗？ 存在，而且可以解出来。设弦为 $x=my-4$ （这样写把竖直弦 $m=0$ 也涵盖了，只漏掉水平弦 $y=0$——水平弦就是长轴， 那时 $\left|F_{2}A\right|+\left|F_{2}B\right|=9+1=10\neq12$，不合，所以不漏）。 代入 $9x^{2}+25y^{2}=225$ 得 $\left(9m^{2}+25\right)y^{2}-72my-81=0$ 由韦达定理算出 $\left|AB\right|=\sqrt{1+m^{2}}\left|y_{1}-y_{2}\right|=\dfrac{90\left(1+m^{2}\right)}{9m^{2}+25}$， 令其等于 $8$ 解得 $m^{2}=\dfrac{55}{9}$——有实数解，所以题设自洽，这样的弦确实存在（而且有两条，关于 $x$ 轴对称）。

顺带记下三个常用的数。 这个椭圆里：长轴 $2a=10$（最长的焦点弦）、 通径 $\dfrac{2b^{2}}{a}=3.6$（最短的焦点弦）、焦点三角形周长 $4a=20$。 填空题里能直接用来对答案的，通常就是这几个。

🕳️ 避坑

• $\left|AB\right|$ 是两段之和**，不是差。** 这一步靠的是「$F_{1}$ 在椭圆内部， 故被 $A$、$B$ 夹在中间」。若换成过椭圆外一点的割线，两段就要相减了。 一句「$\frac{16}{25}<1$」就能把这个前提坐实，别省。
• 左右焦半径的符号相反。 $\left|PF_{2}\right|=5-\frac45x$（右焦点，减）、 $\left|PF_{1}\right|=5+\frac45x$（左焦点，加）。危险的是只写反一条—— 比如两条都顺手写成 $5+\frac45x$：那时 $x_{A}+x_{B}$ 会解成 $+\frac52$， 答案变成 $12$，恰好和题给的数字撞上，错得很不容易被发现。 （两条同时对调反而看不出来：$x\to-x$ 是这张图的对称操作，答案照样是 $8$。 所以「验一验符号」得逐条验，不能只看两式长得对不对称。）
• 开方一定要判括号的符号。 $\sqrt{\left(\frac45x-5\right)^{2}}=\left|\frac45x-5\right|$， 而椭圆上 $\frac45x\leq4<5$，所以要写成 $5-\frac45x$。直接抹掉绝对值写成 $\frac45x-5$ 会得到负的距离。
• 过定点设直线时别漏掉一种斜率。 本题解法一、二都用不着设直线； 但「回头看」里做存在性检验时设了 $x=my-4$，这种写法涵盖竖直线却漏掉水平线， 必须单独验一次（水平线时和是 $10\neq12$）。反过来设 $y=k(x+4)$ 则漏掉竖直线。 无论哪种设法，都要点名它漏了谁、并单独验一遍。