过定点设直线漏斜率不存在

易错点

求「过某定点的直线」时，习惯设 $y-y_0=k(x-x_0)$（点斜式）。但这条式子默认斜率存在，把竖直直线 $x=x_0$ 漏在了外面——而它恰好可能是答案（切线、与某曲线相交的特殊情形等）。

正确做法：设点斜式之前，先把 $x=x_0$ 代进去验一眼它合不合题意；合，就把它和点斜式求出的解并在一起；不合，才能在后面放心地只用 $k$。

漏掉之后有两种后果，都很贵：

• 它本该是答案的一部分 → 少一个解 / 区间少一个端点；
• 它本来就不该算（与题设矛盾） → 答案没错，但理由缺一句，严谨性分照样扣。

三种正确处理

1. 单独验一次：把 $x=x_0$ 代进题设，看它满不满足。满足就并进答案，不满足就写明为什么排除。
2. 换设法：直线必过 $y$ 轴上的定点、且不可能水平时，改设 $x=ty+m$——这一族包含竖直（$t=0$）而漏掉水平，正好把风险挪到不会发生的那一侧。
3. 先证明它不可能：由题设直接推出直线不竖直，然后才设点斜式。这是最干净的写法。

怎么防

• 看到「设直线」四个字，先问一句：这一族漏了哪一条？ $y=kx+m$ 漏竖直，$x=ty+m$ 漏水平。
• 定点在 $y$ 轴上 → 优先考虑 $x=ty+m$；定点在 $x$ 轴上 → 优先 $y=kx+m$。
• 最终答案是区间或集合时尤其要回头看一眼：漏掉的那条直线常常恰好给出边界值。

用在这些题上

浙江 2023 q06：过 $P(0,-2)$ 的竖直直线是 $x=0$，它到圆心 $(2,0)$ 的距离是 $2\ne\sqrt{5}$，不是切线——验过这一笔，后面设 $y+2=kx$ 才不会漏解。

浙江 2022 q21(2)：$A$、$B$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ 上异于 $P(0,1)$ 的两点，$Q\left(0,\dfrac12\right)$ 在线段 $AB$ 上。过 $Q$ 的竖直直线就是 $y$ 轴，它与椭圆交于 $(0,1)$ 与 $(0,-1)$，而 $(0,1)$ 正是 $P$——被题面「异于 $P$」排除。所以那道题的 $AB$ 一定有斜率，设 $y=kx+\dfrac12$ 是安全的；但安全不等于不用写，走上面第 3 条把这两句放在设线之前，理由才算补齐。