浙江 2022 · 数学 q21

题面

21. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1$ 。设 A，B 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 AB 上，直线 PA, PB 分别交直线 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 于 C，D 两点。

(1) 求点 P 到椭圆上点的距离的最大值;

(2) 求 $\left|CD\right|$ 的最小值.

答案

(1) $\frac{12\sqrt{11}}{11}$;

(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

解析

分析

（1）设 $Q(2\sqrt{3}\cos\theta,\sin\theta)$ 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出 $|PQ|^{2}$ ，再根据二次函数的性质即可求出；

（2）设直线 $AB:y = kx + \frac{1}{2}$ 与椭圆方程联立可得 $x_{1}x_{2},x_{1} + x_{2}$ ，再将直线$y = -\frac{1}{2} x + 3$ 方程与 $PA$ 、 $PB$ 的方程分别联立，可解得点 $C,D$ 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 $\left|CD\right|$，最后代入化简可得 $\left|CD\right|=\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{16k^{2}+1}}{\left|3k+1\right|}$，由柯西不等式即可求出最小值.

【小问 1 详解】

设 $Q(2\sqrt{3}\cos \theta ,\sin \theta)$ 是椭圆上任意一点， $P(0,1)$ ，则

$\mid P Q \mid^{2} = 1 2 \cos^{2} \theta + (1 - \sin \theta)^{2} = 1 3 - 1 1 \sin^{2} \theta - 2 \sin \theta = - 1 1 \left(\sin \theta + \frac{1}{1 1}\right)^{2} + \frac{1 4 4}{1 1} \leq \frac{1 4 4}{1 1}$

，当且仅当 $\sin \theta = -\frac{1}{11}$ 时取等号，故 $|PQ|$ 的最大值是 $\frac{12\sqrt{11}}{11}$.

【小问 2 详解】

设直线 $AB:y = kx + \frac{1}{2}$ ，直线 $AB$ 方程与椭圆 $\frac{x^2}{12} +y^2 = 1$ 联立，可得

$\left(k^{2} + \frac{1}{12}\right)x^{2} + kx - \frac{3}{4} = 0$ ，设 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ ，所以 $\left\{\begin{array}{l}x_{1} + x_{2} = -\frac{k}{k^{2} + \frac{1}{12}}\\ x_{1}x_{2} = -\frac{3}{4\left(k^{2} + \frac{1}{12}\right)} \end{array} \right.$

因为直线 $PA: y = \frac{y_1 - 1}{x_1} x + 1$ 与直线 $y = -\frac{1}{2} x + 3$ 交于 $C$,

则 $x_{C} = \frac{4x_{1}}{x_{1} + 2y_{1} - 2} = \frac{4x_{1}}{(2k + 1)x_{1} - 1}$, 同理可得, $x_{D} = \frac{4x_{2}}{x_{2} + 2y_{2} - 2} = \frac{4x_{2}}{(2k + 1)x_{2} - 1}$. 则

$\mid C D \mid = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \left| x_{C} - x_{D} \right| = \frac{\sqrt{5}}{2} \left| \frac{4 x_{1}}{(2 k + 1) x_{1} - 1} - \frac{4 x_{2}}{(2 k + 1) x_{2} - 1} \right|$

$= 2 \sqrt{5} \left| \frac{x_{1} - x_{2}}{\left[(2 k + 1) x_{1} - 1 \right] \left[(2 k + 1) x_{2} - 1 \right]} \right| = 2 \sqrt{5} \left| \frac{x_{1} - x_{2}}{(2 k + 1)^{2} x_{1} x_{2} - (2 k + 1) \left(x_{1} + x_{2}\right) + 1} \right|$

$= \frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1 6 k^{2} + 1}}{| 3 k + 1 |} = \frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{1 6 k^{2} + 1} \sqrt{\frac{9}{1 6} + 1}}{| 3 k + 1 |} \geq \frac{6 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{\left(4 k \times \frac{3}{4} + 1 \times 1\right)^{2}}}{| 3 k + 1 |} = \frac{6 \sqrt{5}}{5},$

当且仅当 $k = \frac{3}{16}$ 时取等号，故 $\left|CD\right|$ 的最小值为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学

生的综合能力要求较高，属于较难题.