浙江 2023 · 数学 q06

冷启动：先把圆看标准，再确认点在圆外

圆 $x^2+y^2-4x-1=0$ 配成标准形：$(x-2)^2+y^2=5$。所以圆心 $C(2,0)$、半径 $r=\sqrt{5}$。点 $P(0,-2)$ 到圆心的距离

$$PC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}>\sqrt{5}=r$$

点在圆外，过它确有两条切线，夹角记作 $\alpha$，求 $\sin\alpha$。两条路：一条利用「半径⊥切线」这个直角、在 $\triangle PAC$ 里看半角 $\alpha/2$，再用二倍角公式翻成 $\alpha$；另一条干脆把两条切线的方程求出来，用两直线夹角算 $\alpha$。

解法一：切点直角求半角，再二倍角

怎么想到的。 切线有个天然直角：半径垂直于切点处的切线。设两切点为 $A,B$，则 $CA\perp PA$。而圆心 $C$ 在角 $\alpha$ 的平分线上，所以 $\angle APC=\dfrac{\alpha}{2}$。于是在 $\triangle PAC$（$\angle A=90^\circ$）里，$\dfrac{\alpha}{2}$ 的对边是 $CA=r$、斜边是 $PC$：

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{PC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}},\qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

最后用二倍角公式 $\sin\alpha=2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$：

$$\sin\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

解法二：解析法求切线斜率 + 夹角公式

怎么想到的。 不想走几何那条路，就把两条切线算出来。先补一笔竖直情形：过 $P$ 的竖直直线 $x=0$ 到圆心距离为 $2\ne\sqrt{5}$，不是切线，故两条切线都有斜率，可设 $y+2=kx$，即 $kx-y-2=0$。

① 切线 ⟺ 圆心到直线距离 $=r$（点到直线的距离公式）：

$$\frac{|2k-0-2|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}\ \Rightarrow\ (2k-2)^2=5(k^2+1)\ \Rightarrow\ k^2+8k+1=0$$

设两根为 $k_1,k_2$，则 $k_1+k_2=-8,\ k_1k_2=1$。

② 两切线夹角。 $\tan\alpha=\left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$，而 $(k_1-k_2)^2=(k_1+k_2)^2-4k_1k_2=64-4=60$，故 $|k_1-k_2|=2\sqrt{15}$，又 $1+k_1k_2=2$：

$$\tan\alpha=\frac{2\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}$$

③ 由 $\tan\alpha$ 读 $\sin\alpha$（$\alpha\in(0,\pi)$ 且 $\tan\alpha>0$，故 $\sin\alpha>0$）：

$$\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

这两条路差在哪。 解法一纯几何：抓住「半径⊥切线」这一个直角，把 $\alpha$ 拆成两半塞进 $\triangle PAC$，再用二倍角合回去——计算量最小，但要看穿切点处那个直角。解法二纯代数：把切线方程硬解出来（一个关于 $k$ 的二次方程），靠韦达定理拿 $k_1\pm k_2$，再套两直线夹角公式——它的好处是无脑通用，不依赖你「看出」那个直角；代价是要先验竖直切线、还要做一次 $\tan\to\sin$ 的换算。两条路在 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ 上汇合，互相印证。

🕳️ 避坑

• 过定点设 $y-y_0=k(x-x_0)$ 必先查竖直直线 $x=x_0$。本题 $x=0$ 不是切线，验过才能放心只用 $k$；换一道题，竖直那条可能正是切线之一，漏了就丢解。
• 半角法里 $\dfrac{\alpha}{2}$ 是 $PA$ 与 $PC$ 的夹角（$\triangle PAC$ 中 $\angle A$ 为直角），别和切线与 $x$ 轴的倾斜角搞混。
• 用二倍角 $\sin\alpha=2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$ 别漏了开头的系数 $2$。

对照选项 A. $1$、B. $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$、C. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$、D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$，故选 B。