浙江 2023 · 数学 q06

题面

6．（5 分）（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆$x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$相切的两条直线的夹角为 α，则 sinα＝（ ）A．1B$\frac{\sqrt{1 5}}{4}$C$\frac{\sqrt{1 0}}{4}$D$\frac{\sqrt{6}}{4}$

答案

B

解析

分析

圆的方程化为$( x - 2 )^{2} + y^{2} = 5$，求出圆心和半径，利用直角三角形求出$\mathrm{s i n}{\frac{\alpha}{2}}$再计算$\cos{\frac{\alpha}{2}}$和 sinα 的值

解答

解：圆$x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$可化为$( x - 2 )^{2} + y^{2} = 5$，则圆心C（2，0），半径为$r = {\sqrt{5}} ;$设$P \ ( 0 , - 2 )$），切线为PA、PB，则$P C = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

$\triangle P A C$中，$\mathrm{s i n}{\frac{\alpha}{2}} = {\frac{\sqrt{5}}{2 {\sqrt{2}}}} ,$，所以$\cos{\frac{\alpha}{2}} = {\sqrt{1 - {\frac{5}{8}}}} = {\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{2}}}} ,$所以$\mathrm{s i n} \alpha = 2 \mathrm{s i n}{\frac{\alpha}{2}} \mathrm{c o s}{\frac{\alpha}{2}} = 2 \times{\frac{\sqrt{5}}{2 {\sqrt{2}}}} \times{\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{2}}}} = {\frac{\sqrt{1 5}}{4}}$

故选：B