浙江 2019 · 数学 q21

题面

21.如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2px(p>0)$ ，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记 $\triangle AFG,\triangle CQG$ 的面积为 $S_{1},S_{2}$ .

（1）求 p 的值及抛物线的标准方程；

(2) 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 G 的坐标.

（1）求 p 的值及抛物线的标准方程；

(2) 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 G 的坐标.

答案

（1）1， $x = -1$ ；（2） $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $G(2,0)$

解析

分析

(1)由焦点坐标确定 p 的值和准线方程即可；

(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值和点 $G$ 的坐标.

(1)由题意可得 $\frac{p}{2} = 1$，则 $p = 2, 2p = 4$，抛物线方程为 $y^2 = 4x$，准线方程为 $x = -1$.

(2)设 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$

设直线 $AB$ 的方程为 $y = k(x - 1), k > 0$，与抛物线方程 $y^2 = 4x$ 联立可得：

$k^{2}x^{2}-\left(2k^{2}+4\right)x+k^{2}=0$ ，故： $x_{2}+x_{2}=2+\frac{4}{k^{2}},x_{2}x_{2}=1$

$y_{1} + y_{2} = k \left(x_{1} + x_{2} - 2\right) = \frac{4}{k}, y_{1} y_{2} = - \left(\sqrt{4 x_{1}}\right) \times \left(\sqrt{4 x_{2}}\right) = - 4,$

设点 $C$ 的坐标为 $C(x_{3},y_{3})$ ，由重心坐标公式可得：

$x_{G} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} = \frac{1}{3} \left(2 + \frac{4}{k^{2}} + x_{3}\right), \quad y_{G} = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3} = \frac{1}{3} \left(\frac{4}{k} + y_{3}\right),$

令 $y_{G} = 0$ 可得： $y_{3} = -\frac{4}{k}$ ，则 $x_{3} = \frac{y_{3}^{2}}{4} = \frac{4}{k^{2}}.$ 即 $x_{G} = \frac{1}{3}\left(2 + \frac{4}{k^{2}} +\frac{4}{k^{2}}\right) = \frac{1}{3}\left(2 + \frac{8}{k^{2}}\right),$

由斜率公式可得： $k_{AC}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{\frac{y_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{3}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{1}+y_{3}}$

直线 AC 的方程为： $y - y_{3} = \frac{4}{y_{1} + y_{3}} (x - x_{3})$ ,

令 y=0 可得： $x_{Q}=x_{3}+\frac{-y_{3}(y_{1}+y_{3})}{4}=\frac{y_{3}^{2}}{4}+\frac{-y_{3}(y_{1}+y_{3})}{4}=-\frac{y_{1}y_{3}}{4}$

$S_{1} = \frac{1}{2} \times \left(x_{G} - x_{F}\right) \times y_{1} = \frac{1}{2} \times \left[\frac{1}{3} \left(2 + \frac{8}{k^{2}}\right) - 1 \right] \times y_{1} = \frac{y_{1}}{2} \times \left(\frac{8}{3 k^{2}} - \frac{1}{3}\right),$

且 $S_{2} = \frac{1}{2}\times (x_{Q} - x_{G})\times (-y_{3}) = -\frac{y_{3}}{2}\left[-\frac{y_{1}y_{3}}{4} -\frac{1}{3}\left(2 + \frac{8}{k^{2}}\right)\right],$

由于 $y_{3}=-\frac{4}{k}$ ，代入上式可得： $S_{2}=\frac{2}{k}\left(\frac{y_{1}}{k}-\frac{2}{3}-\frac{8}{3k^{2}}\right)$ ,

由 $y_{1} + y_{2} = \frac{4}{k}, y_{1}y_{2} = -4$ 可得 $y_{1} - \frac{4}{y_{1}} = \frac{4}{k}$，则 $k = \frac{4y_{1}}{y_{1}^{2} - 4}$，

则 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{y_1}{2} \times \left(\frac{8}{3k^2} - \frac{1}{3}\right)}{\frac{2}{k} \left(\frac{y_1}{k} - \frac{2}{3} - \frac{8}{3k^2}\right)} = \frac{2y_1^2(y_1^2 - 2)}{(y_1^2 - 4)(y_1^2 + 4)} = 2 - \frac{4}{(y_1^2 - 8) + \frac{48}{y_1^2 - 8} + 16}$

$\geq 2 - \frac{4}{2 \sqrt{\left(y_{1}^{2} - 8\right) \times \frac{4 8}{y_{1}^{2} - 8}} + 1 6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}.$

当且仅当 $y_{1}^{2} - 8 = \frac{48}{y_{1}^{2} - 8}$，即 $y_{1}^{2} = 8 + 4\sqrt{3}$，$y_{1} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 时等号成立

此时 $k = \frac{4y_1}{y_1^2 - 4} = \sqrt{2}$，$x_G = \frac{1}{3}\left(2 + \frac{8}{k^2}\right) = 2$，则点 $G$ 的坐标为 $G(2,0)$.

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.