浙江 2019 · 数学 q21

冷启动：焦点给了 p，重心钉死 C

抛物线 $y^{2}=2px$ 的焦点坐标是 $\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，题面给的 $F(1,0)$ 直接给出 $\dfrac{p}{2}=1$，于是 $p=2$、标准方程 $y^{2}=4x$（准线 $x=-1$）。

原书【答案】(1) 印的是「1，x=−1」——「1」其实是 $\dfrac{p}{2}=1$，「x=−1」是准线，两个空印串了， 与它自己【解析】里的 $p=2,\ y^{2}=4x$ 直接矛盾。本页已按解析修正为「p=2，y²=4x」。

第 (2) 问的骨架分五步：

1. 设线：直线 $AB$ 过焦点，设 $y=k(x-1)$（$k>0$ 不失一般性——$k<0$ 的情形关于 $x$ 轴对称， 面积比不变；竖直直线 $x=1$ 的情形稍后会被「$Q$ 在 $F$ 右侧」排除）。
2. 联立：与 $y^{2}=4x$ 联立得 $k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0$，韦达定理给出两把钥匙： $x_{1}x_{2}=1$（常数项与二次项系数之比）与 $x_{1}+x_{2}=2+\dfrac{4}{k^{2}}$。
3. 重心钉死 $C$：$y_{G}=\dfrac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}=0$，而 $y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2}-2)=\dfrac{4}{k}$， 所以 $y_{3}=-\dfrac{4}{k}$，再由 $C$ 在抛物线上得 $x_{3}=\dfrac{y_{3}^{2}}{4}=\dfrac{4}{k^{2}}$。 $C$ 完全由 $k$ 决定——这就是「重心在 $x$ 轴上」这个条件的全部内容。
4. 面积落到底在 $x$ 轴上的线段：$\triangle AFG$ 以 $FG$ 为底（高 $y_{1}$）， $\triangle CQG$ 以 $GQ$ 为底（高 $-y_{3}$）——两个三角形的底都在 $x$ 轴上，面积公式退化成 $\dfrac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$。
5. 最值：把比化成单变量函数，均值不等式（解法一）或求导（解法二）。

解法一：斜率参数 + 均值不等式

第一步，$Q$ 的位置。直线 $AC$ 的斜率由两点坐标给出：

（分母用 $x=\dfrac{y^{2}}{4}$ 化掉——这是抛物线题里「用纵坐标代替横坐标」的标准动作。）直线 $AC$： $y-y_{3}=\dfrac{4}{y_{1}+y_{3}}(x-x_{3})$，令 $y=0$：

第二步，两个面积。$x_{G}=\dfrac{1}{3}\left(2+\dfrac{8}{k^{2}}\right)$：

（第二行代入了 $y_{3}=-\dfrac{4}{k}$。注意 $S_{1}$ 的底是 $x_{G}-1$：要 $G$ 在 $F$ 右侧，即 $k^{2}<8$——最值点 $k=\sqrt{2}$ 满足，稍后验。）

第三步，把 $k$ 换成 $y_{1}$。由 $y_{1}+y_{2}=\dfrac{4}{k}$ 与 $y_{1}y_{2}=-4$ 消去 $y_{2}$： $y_{1}-\dfrac{4}{y_{1}}=\dfrac{4}{k}$，即 $k=\dfrac{4y_{1}}{y_{1}^{2}-4}$。代入化简：

（第二个等号是把分子配成 $(y_{1}^{2}-4)(y_{1}^{2}+4)-4(y_{1}^{2}-8)$ 一类的拆法——目标形状 「$2-\dfrac{4}{u+\frac{48}{u}+16}$」是为均值不等式准备的。）

第四步，均值不等式。$y_{1}>0$ 且 $y_{1}^{2}>8$（$Q$ 在 $F$ 右侧保证），两项为正：

等号验：$y_{1}^{2}-8=\dfrac{48}{y_{1}^{2}-8}$ 即 $y_{1}^{2}=8+4\sqrt{3}$，取正根 $y_{1}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$（落在 $y_{1}^{2}>8$ 的范围内）。此时 $k=\dfrac{4y_{1}}{y_{1}^{2}-4}=\dfrac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4+4\sqrt{3}}=\sqrt{2}>0$ 合法， $x_{G}=\dfrac{1}{3}\left(2+\dfrac{8}{2}\right)=2$，故最小值为 $1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，此时 $G(2,0)$。

解法二：横坐标参数 + 导数

解法一绕了一个弯：$k$ 与 $y_{1}$ 互表。其实从一开始就取 $A$ 为参数更快——而且韦达的 $x_{1}x_{2}=1$ 让 $B$ 几乎不用写出来。

设 $x_{1}=t$（$t>1$）。$A$ 在 $y^{2}=4x$ 的上半支，$A=(t,\,2\sqrt{t})$；由 $x_{1}x_{2}=1$ 得 $x_{2}=\dfrac{1}{t}$，再由 $y_{1}y_{2}=-4$（$B$ 在下半支）得 $y_{2}=-\dfrac{2}{\sqrt{t}}$。

重心在 $x$ 轴上：

$Q$ 的横坐标（与解法一同款：$x_{Q}=-\dfrac{y_{1}y_{3}}{4}$）：

$Q$ 在 $F$ 右侧 $\Longleftrightarrow t-1>1\Longleftrightarrow t>2$——这就是参数 $t$ 的定义域。 顺带 $x_{G}>1\Longleftrightarrow\dfrac{2t+\tfrac{2}{t}-2}{3}>1\Longleftrightarrow t>2$，两个底 （$FG$ 与 $GQ$）在 $t>2$ 时都为正，方向一致。

（化简后与解法一在 $t=\dfrac{y_{1}^{2}}{4}$ 下的式子完全一致。）

求导：

在 $t>2$ 上导数先负后正，$t^{2}-4t+1=0$ 的正根 $t=2+\sqrt{3}$（$>2$，在定义域内）是最小值点：

此时 $\dfrac{1}{t}=2-\sqrt{3}$，$x_{G}=\dfrac{2t+\tfrac{2}{t}-2}{3}=\dfrac{4+2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}-2}{3}=2$， 即 $G(2,0)$。

自检：$t=2+\sqrt{3}$ 对应的 $y_{1}=2\sqrt{t}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，与解法一的 等号点逐字相同——两条路在最值点会师。

两条路的分工

考场建议：这道题的官方解法（解法一）计算量不小，解法二把 $B$ 用 $x_{1}x_{2}=1$ 隐掉、 少写一半式子。写哪种都行，但换元（无论换 $y_{1}$ 还是 $t$）后先写范围这一步不能省。

避坑清单