浙江 2017 · 数学 q14

冷启动：先把 $D$ 摆对位置

题面的四个条件：

• $\triangle ABC$ 中 $AB=AC=4$——等腰，腰是 $4$；
• $BC=2$——底是 $2$；
• $D$ 在 $AB$ 的延长线上，$BD=2$；
• 连结 $CD$，问 $\triangle BDC$ 的面积与 $\cos\angle BDC$。

第三条是这道题唯一会读错的地方。「$AB$ 的延长线」是从 $A$ 出发、经过 $B$、再往外那一段， 所以 $D$ 落在 $B$ 的外侧，$B$ 夹在 $A$ 与 $D$ 中间。摆对之后，两件好事同时出现：

1. $BD=BC=2$——$\triangle BDC$ 是等腰三角形，两个底角相等；
2. $\angle DBC$ 与 $\angle ABC$ 互补——$D$、$B$、$A$ 三点共线，$\angle DBC$ 是 $\triangle BDC$ 在 $B$ 处的内角， 而 $\angle ABC$ 是它的邻补角，也正是 $\triangle BDC$ 在 $B$ 处的外角。

这两件事各自开出一条路：第一条路吃「外角 = 两个不相邻内角之和」，第二条路吃「互补角的余弦相反」。

至于原来那个等腰 $\triangle ABC$，它只用来提供一个数：$\cos\angle ABC$。 作底边上的高 $AE$（$E$ 是 $BC$ 中点），直角三角形 $ABE$ 里 $BE=1$、$AB=4$，于是

$$\cos\angle ABC=\frac{BE}{AB}=\frac14,\qquad AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}$$

整道题的全部输入就是这两个数。

解法一：面积按同高比换算，角用等腰的外角二倍角

面积：两块三角形共用同一条高

$\triangle BDC$ 与 $\triangle ABC$ 有一个共同点：顶点都是 $C$，底边都躺在直线 $AB$ 上。 于是从 $C$ 到直线 $AB$ 的那条高，两块三角形是同一条。底 $\times$ 高 $\div 2$ 里高约掉，只剩底之比：

$$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BD}{AB}=\frac24=\frac12$$

而 $\triangle ABC$ 的面积用底 $BC$ 与高 $AE$ 算最省事：

$$S_{\triangle ABC}=\frac12\times BC\times AE=\frac12\times 2\times\sqrt{15}=\sqrt{15}$$

所以

$$\boxed{S_{\triangle BDC}=\frac12\times\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{2}}$$

这一步完全不用管 $D$ 的具体位置，只用到 $BD$ 与 $AB$ 的长度之比。

角：外角把 $\theta$ 翻了一倍

记 $\theta=\angle BDC$。$\triangle BDC$ 里 $BD=BC=2$，等边对等角：

$$\angle BDC=\angle BCD=\theta$$

$\angle ABC$ 是 $\triangle BDC$ 在顶点 $B$ 处的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和：

$$\angle ABC=\angle BDC+\angle BCD=2\theta$$

两边取余弦，用二倍角公式的「只留 $\cos$」那一式：

$$\cos\angle ABC=\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$$

左边已经算出来是 $\frac14$，代进去：

$$2\cos^2\theta-1=\frac14 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\theta=\frac58 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=\pm\frac{\sqrt{10}}{4}$$

（$\sqrt{\frac58}=\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。）

取正号。 理由：$\theta$ 是等腰三角形的底角，必定是锐角（两个底角加起来小于 $180^\circ$）， 所以 $\cos\theta>0$。

$$\boxed{\cos\angle BDC=\frac{\sqrt{10}}{4}}$$

为什么二倍角要挑「只留 $\cos$」那一式

$\cos 2\theta$ 有三种写法：$\cos^2\theta-\sin^2\theta$、$1-2\sin^2\theta$、$2\cos^2\theta-1$。 这里要求的是 $\cos\theta$，手上给的也是 $\cos 2\theta$，所以只有第三式能一步解出来， 另外两式都会引进一个 $\sin\theta$，还得再开一次根号、再判一次符号。 按「已知谁、要求谁」挑式子，不要按背诵顺序挑。

解法二：把小三角形单拎出来，用余弦定理直接解开

怎么想到的

$\triangle BDC$ 里，两条边（$BD=BC=2$）已知，夹角 $\angle DBC$ 也算得出来—— 它与 $\angle ABC$ 互补，余弦只差一个负号：

$$\cos\angle DBC=-\cos\angle ABC=-\frac14$$

两边一夹角全齐，这就是一个标准的「解三角形」局面：面积用面积公式，第三边用余弦定理， 根本不必回头看 $\triangle ABC$，也不必用二倍角。

面积：两边夹角

$$\sin\angle DBC=\sqrt{1-\left(-\tfrac14\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}4$$

（$\angle DBC$ 是三角形内角，$\sin>0$，取正根。）

$$S_{\triangle BDC}=\frac12\times BD\times BC\times\sin\angle DBC =\frac12\times2\times2\times\frac{\sqrt{15}}4=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

与解法一同一个数。

第三边：余弦定理

$$DC^2=BD^2+BC^2-2\cdot BD\cdot BC\cdot\cos\angle DBC =4+4-2\times2\times2\times\left(-\frac14\right)=8+2=10$$ $$DC=\sqrt{10}$$

角：等腰三角形的垂足就是中点

从顶点 $B$ 向底 $DC$ 作垂线，垂足记作 $F$。因为 $BD=BC$，$B$ 到 $D$、$C$ 等距， 所以 $F$ 是 $DC$ 的中点（三线合一）：

$$DF=\frac{DC}2=\frac{\sqrt{10}}2$$

在直角三角形 $BDF$ 里，$\theta=\angle BDF=\angle BDC$，于是

$$\cos\theta=\frac{DF}{DB}=\frac{\sqrt{10}/2}{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}$$

符号不用讨论：直角三角形的锐角余弦天然为正，这条路把解法一末尾那次取舍省掉了。

也可以用余弦定理再来一次

不想作高的话，第三次用余弦定理也行——这次把 $\theta$ 当成待求角：

$$\cos\theta=\frac{DB^2+DC^2-BC^2}{2\cdot DB\cdot DC} =\frac{4+10-4}{2\times2\times\sqrt{10}}=\frac{10}{4\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}4$$

同一个数。三条式子任选一条，都不需要 $\triangle ABC$。

两条路的分工

两条路的中间量几乎不重叠（一条走比例与倍角，一条走边长与定理），所以它们互为验算： 两边都得到 $\frac{\sqrt{15}}2$ 与 $\frac{\sqrt{10}}4$，基本可以放心。

顺带一个更快的心算：$\triangle BDC$ 的面积也可以写成 $\frac12\times BD\times h$， 其中 $h$ 是 $C$ 到直线 $AB$ 的距离。由 $S_{\triangle ABC}=\frac12\times AB\times h=\sqrt{15}$ 得 $h=\frac{\sqrt{15}}2$， 于是 $S_{\triangle BDC}=\frac12\times2\times\frac{\sqrt{15}}2=\frac{\sqrt{15}}2$——同一件事换个说法。

避坑清单

• $D$ 在 $B$ 的外侧，不是 $A$ 的外侧。 「$AB$ 的延长线」顺着 $A\to B$ 往外走。 摆反了 $\angle DBC$ 就不再与 $\angle ABC$ 互补，而是等于它，整道题的两个答案都会变。
• $\angle DBC$ 与 $\angle ABC$ 互补，余弦要变号**。** 直接拿 $\frac14$ 去代余弦定理， 会得到 $DC^2=8-2=6$，两个空全错。看见「延长线」就先写一句「这两个角互补」。
• 二倍角挑错式子。 已知 $\cos2\theta$、要求 $\cos\theta$，只能用 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$。 用 $1-2\sin^2\theta$ 会解出 $\sin\theta$，还要再转一道并判一次符号。
• 开方后别漏掉符号判断。 $\cos^2\theta=\frac58$ 给的是 $\pm\frac{\sqrt{10}}4$； 靠「等腰三角形的底角必为锐角」取正。写「$\cos\theta=\frac{\sqrt{10}}4$」而不说理由， 在解答题里是要扣分的。
• $\sqrt{\frac58}$ 要化到最简。 $\frac{\sqrt5}{\sqrt8}=\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}4$。 留成 $\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}$ 与标准答案对不上。
• 面积公式里的角必须是那两条边的夹角。 $S=\frac12\cdot BD\cdot BC\cdot\sin\angle DBC$ 里 $\angle DBC$ 正是 $BD$ 与 $BC$ 的夹角；换成 $\angle BDC$ 就不是面积了。
• 别把 $AE$ 当成 $\triangle BDC$ 的高。 $AE$ 是 $A$ 到 $BC$ 的距离； $\triangle BDC$ 与 $\triangle ABC$ 共用的那条高是 $C$ 到直线 $AB$ 的距离，两者不是一个量。 用「面积之比 = 底之比」绕开它，就不必把它算出来。