浙江 2013 · 数学 q12

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斜截三棱柱 ABC-A'B'C'：底面直角边 3、4（面积 6），三条竖棱 2、5、5；灰虚线是补齐用的三棱锥 A'-A''B'C'

机位1题图角度2正对 底面（面积 6）3沿 底面（面积 6） 看4俯视自由视角

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冷启动：难的是还原，不是算

这类题的分全在还原上——三张平面图要在脑子里拼回一个立体。拼出来之后， 剩下的只是两条公式（柱 $=Sh$、锥 $=\frac13Sh$）相加减。

本题三张图里，真正带信息的是那三条斜线：

第一步，俯视图定底面。 俯视图画的是立体在水平面上的影子，所以底面是一个 直角边为 $4$ 与 $3$ 的直角三角形，面积

$$S=\frac12\times3\times4=6 .$$

把它的三个顶点记作 $A$（直角顶点）、$B$、$C$，则 $AB=4$、$AC=3$、$BC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。

第二步，正视图与侧视图定三条竖棱。 两张图的外轮廓都是高 $5$ 的矩形，说明立体最高处是 $5$； 可两张图里各有一条斜线，说明顶上那个面不是水平的，是一个斜面。过 $A$、$B$、$C$ 各向上作一条竖直的棱，上端记作 $A'$、$B'$、$C'$，三条棱的长这样读出来：

• 正视图右边被分成 $3+2$，$2$ 就是最矮那条竖棱 $AA'$；
• 正视图那条斜线从高 $2$ 一路升到右上角的高 $5$，它是棱 $A'B'$，于是 $BB'=5$；
• 侧视图那条斜线同样从高 $2$ 升到高 $5$，它是棱 $A'C'$，于是 $CC'=5$。

所以立体是一个斜截三棱柱：底面是那个面积为 $6$ 的直角三角形，三条竖棱 $AA'=2$、$BB'=CC'=5$，顶面 $A'B'C'$ 是一个斜面。到这里题目已经做完一半了。

解法一：补齐成直三棱柱，再把多出来的那个三棱锥挖掉

三条竖棱里有两条一样长（都是 $5$），只有 $AA'=2$ 短了一截。那就把它补齐。

记 $A''$ 为 $A$ 正上方 $5$ 处的点。补完之后 $A''B'C'$ 与底面 $ABC$ 全等且水平， $ABC\text{-}A''B'C'$ 是一个货真价实的直三棱柱：

$$V_{\text{柱}}=Sh=6\times5=30 .$$

补进去的那一块，是以水平三角形 $A''B'C'$ 为底、以 $A'$ 为顶点的三棱锥。 底面积还是 $6$，顶点 $A'$ 到那个水平面的距离是 $5-2=3$，所以

$$V_{\text{锥}}=\frac13\times6\times3=6 .$$

两者相减：

$$V=30-6=24 .$$

官方解答走的正是这条路——「棱柱的高为 $5$，被截取的棱锥的高为 $3$」，说的就是这两个数。

这里唯一要小心的是锥的那个 $\frac13$：漏了它就得 $30-18=12$，正好是个看着”也挺整”的错数。

解法二：在高 $2$ 处横切一刀——下面是柱，上面是锥

不补，改切。过 $A'$ 作一个水平面，把立体切成上下两块。

下面一块是高 $2$ 的直三棱柱（顶面正好从 $A'$ 处平切过去）：

$$V_{1}=6\times2=12 .$$

上面一块长这样：它的顶点是 $A'$，四个底面顶点是 $B'$、$C'$ 与 $BB'$、$CC'$ 上高为 $2$ 的那两点 （记作 $B_{2}$、$C_{2}$）。$B_{2}C_{2}C'B'$ 是一个竖直的矩形，长 $B_{2}C_{2}=BC=5$、宽 $B_{2}B'=5-2=3$，面积 $15$。$A'$ 到这个矩形所在平面的距离， 因为该平面是竖直的、且过直线 $BC$，所以等于底面上 $A$ 到直线 $BC$ 的距离。 在直角三角形里，斜边上的高等于两直角边之积除以斜边：

$$d=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5} .$$

于是

$$V_{2}=\frac13\times15\times\frac{12}{5}=12,\qquad V=12+12=24 .$$

顺手推出一条能当验算用的结论。 把上面那步不带数字地再算一遍：矩形的面积是 $BC\cdot(h-h_{A})$，锥高是 $d=\dfrac{2S}{BC}$，两者一乘，$BC$ 自己约掉：

$$V_{2}=\frac13\cdot BC(h-h_{A})\cdot\frac{2S}{BC}=\frac23S\,(h-h_{A}),$$ $$V=S\,h_{A}+\frac23S\,(h-h_{A})=S\cdot\frac{h_{A}+2h}{3}=S\cdot\frac{h_{A}+h_{B}+h_{C}}{3} .$$

也就是：底面积 $\times$ 三条竖棱的平均长。本题 $6\times\dfrac{2+5+5}{3}=6\times4=24$，一眼验完。

（上面这段推导用到了本题的 $h_{B}=h_{C}=h$ 这个巧合；三条竖棱两两不等时结论照样成立， 但要换个证法——把立体切成三个三棱锥。这里只把它当本题的验算用。）

解法三：竖着劈开——一个三棱锥加一个四棱锥

前两条都在横向做文章，这条竖着来：用过 $A'$、$B$、$C$ 三点的平面把立体劈开。 $A$ 在这个平面下方、$B'$ 与 $C'$ 在上方，所以它确实把立体分成两块。

下面一块是三棱锥 $A'\text{-}ABC$：底面就是那个面积为 $6$ 的直角三角形， 高是竖棱 $AA'=2$，

$$V_{1}=\frac13\times6\times2=4 .$$

上面一块是四棱锥 $A'\text{-}BCC'B'$。$BCC'B'$ 是过直线 $BC$ 的竖直矩形， $BC=5$、$BB'=CC'=5$，是个边长 $5$ 的正方形，面积 $25$；顶点 $A'$ 到它的距离仍是 $A$ 到直线 $BC$ 的那个 $\dfrac{12}{5}$：

$$V_{2}=\frac13\times25\times\frac{12}{5}=20 .$$ $$V=4+20=24 .$$

三条路殊途同归，$24$ 这个数被验了三遍。

三条提醒

1. 深度别当成高。 俯视图里那个 $3$ 是立体的深度（前后方向），它同时是侧视图的 宽；正视图和侧视图的竖向才是高。把 $3$ 当成高，底面积就会算成 $\frac12\times4\times5=10$，整道题错一个倍数。
2. 锥的 $\frac13$ 别漏。 解法一漏了得 $12$，解法二、三漏了得 $45$、$87$——三个都不是答案， 但都”长得像答案”。
3. 答案填的是数，不是式。 题目已经把单位 $\mathrm{cm}^{3}$ 写在横线后面了，横线里只填 $24$。