8.3 简单几何体的表面积与体积

§8.1 讲了多面体和旋转体各自长什么样，§8.2 讲了怎么把它们画到纸上。这一节开始量它们： 表面积是「表面有多大」，体积是「占了多少空间」。整个 §8.3 分两半——这一节（§8.3.1）处理 多面体（棱柱、棱锥、棱台），下一节（§8.3.2）处理旋转体和球。

先把这一节的分量说清楚：表面积这一半几乎没有内容，因为多面体的表面就是一堆多边形， “表面积”这个词展开就是”把每个面的面积加起来”，没有公式可背；分量全在体积这一半的三条公式上， 而那三条其实是一条。往下按这个轻重来讲。

一、表面积：不是公式，是一句话

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和。

这句话是定义，不是定理。它之所以能这么简单，是因为多面体的每个面都是平面多边形—— 初中已经会算了。（下一节的圆柱、圆锥就没这个便利：侧面是曲面，必须先”剪开摊平”才有面积可算， 所以那一节才需要一串侧面积公式。）

于是多面体表面积题的全部技术含量在两件事上：

1. 数清楚有几个面、哪些面全等。 课本例 1 就是模板：正四面体的四个面是全等的正三角形， 算一个乘 $4$ 就完了——$S=4\times\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\sqrt3 a^2$。真正的动作是”认出全等”， 不是”算面积”。
2. 认清每个面的真实形状。 直观图里看着是平行四边形的侧面，实际可能是矩形；侧棱倾斜的 棱锥，侧面三角形的高不是棱锥的高，得另外用勾股定理算（这个”斜高”是后面最容易代错的量）。

两个术语上的坑，现在就说清楚：

• 表面积 $\ne$ 侧面积。 表面积含底面，侧面积不含。题目问哪个就答哪个。
• 组合体的表面积不是两块表面积相加。 粘在一起的那两个面被封在里面，看不见了，要减掉两次； 若是挖空型（从一块里挖掉另一块），挖出来的内壁反而是新露出来的面，要加上。 判断办法很笨但可靠：想象从各个方向看过去，看得见的面才算。 （体积就没有这个麻烦——体积可以直接加减，表面积不能，这是组合体题里最值得记住的一句话。）

“减掉两次”这句还要再拆细一格，否则会在下一个岔口翻车： 一处粘合减掉的是两倍”接触面”，不是两倍”被贴的那张面”。 两块贴在一起时，接触的只是它们的公共部分，而这块公共部分对两块的意义常常完全不同：

• 面积小的那一块，整张面都在接触区里，于是整张消失；
• 面积大的那一块，只有一部分被盖住，剩下的那一圈照样露在外面。

举个具体的：一个长方体的左面是 $3\times6=18$，在它左面贴上一个横放的三棱柱， 接触到的只是 $3\times3=9$ 的一块正方形。这时三棱柱那张 $3\times3$ 的竖面整张不见了（减 $9$）， 而长方体的左面从 $18$ 变成 $9$（也减 $9$）——两笔都等于接触面 $9$，公式里的 $-2S_{\text{接触}}$ 说的就是这件事。把长方体的左面整张 $18$ 划掉，是这类题最高频的失分点， 浙江 2014 年第 3 题的干扰项 B 正是这么算出来的。

二、体积：三条公式其实是一条

$$V_{\text{棱柱}}=Sh,\qquad V_{\text{棱锥}}=\frac13Sh,\qquad V_{\text{棱台}}=\frac13h\left(S'+\sqrt{S'S}+S\right)$$

其中 $S$、$S'$ 是底面面积（棱台的 $S'$ 是上底、$S$ 是下底），$h$ 一律是高。

课本在这三条后面留了一个「思考」：它们之间是什么关系？答案是台体那一条包含另外两条：

• 令 $S'=S$（上下底面一样大），棱台退化成棱柱，公式变成 $\frac13h(S+\sqrt{S\cdot S}+S)=\frac13h\cdot 3S=Sh$ ✓
• 令 $S'=0$（上底面缩成一个点），棱台退化成棱锥，公式变成 $\frac13h(0+0+S)=\frac13Sh$ ✓

这两个退化方向同时是记忆法和自检法。 写出台体公式后，先把 $S'=S$ 和 $S'=0$ 各代一遍， 两个方向都退化对了，公式才没抄错——漏掉 $\sqrt{S'S}$ 那一项的人，在第一个方向上就会得到 $\frac23Sh$，当场露馅。

关于 $h$，课本在页边用三条旁注反复说的是同一件事：

高一律是”垂线段的长”，不是侧棱长、不是斜高。 直棱柱里侧棱恰好垂直于底面，两者数值相等， 所以直棱柱题里可以放心用侧棱长；一旦是斜棱柱或斜棱锥，代错就整题作废。

三、“等底等高，柱是锥的 3 倍”——这个 3 从哪来

课本把这句话直接给了出来，没有证。它其实可以看见，值得补上：

把一个三棱柱 $ABC\text-A_1B_1C_1$ 切成三个三棱锥。 三刀之后得到

$$\text{①}\ A_1\text-ABC,\qquad \text{②}\ A_1\text-BB_1C,\qquad \text{③}\ A_1\text-B_1C_1C$$

这三块拼起来正好是整个棱柱，互不重叠。接下来两两比：

• ① 与 ② 一样大。 把它们都看成以 $C$ 为顶点：底面分别是 $\triangle A_1AB$ 与 $\triangle A_1B_1B$。 这两个三角形是侧面平行四边形 $ABB_1A_1$ 被对角线 $A_1B$ 切成的两半，面积相等；顶点同为 $C$， 到那个平面的距离是同一个数，于是等底等高，体积相等。
• ② 与 ③ 一样大。 把它们都看成以 $A_1$ 为顶点：底面分别是 $\triangle BB_1C$ 与 $\triangle B_1C_1C$， 这两个三角形是侧面平行四边形 $BCC_1B_1$ 被对角线 $B_1C$ 切成的两半，面积也相等；顶点同为 $A_1$。

所以三块体积相同，各占棱柱的 $\dfrac13$。而第①块 $A_1\text-ABC$ 的底面就是棱柱的底面 $\triangle ABC$（面积 $S$）、高就是棱柱的高 $h$——它是一个”等底等高”的棱锥。于是

$$V_{\text{棱锥}}=\frac13V_{\text{棱柱}}=\frac13Sh$$

一般的棱柱？把底面多边形三角剖分，整个棱柱就被切成若干个三棱柱，每个都照上面的办法算， 加起来结论不变。

这段推导真正要带走的不是那个 $\dfrac13$，是”等底等高的锥体积相同”这件事——它意味着 锥顶在与底面平行的那个平面上怎么挪，体积都不变。做题时看到”顶点在某条线上移动，求体积”， 先想它是不是根本没变。

同一件事还有一种更好画的剖法：把正方体切成三个全等的四棱锥。 取正方体的一个顶点 $K$， 不含 $K$ 的面恰好有三个；以这三个面各作一次底、都以 $K$ 为顶点，得到三个四棱锥。它们 互不重叠、恰好拼满正方体（用坐标说：一个点落在哪个锥里，由它的三个坐标中哪一个最小决定）， 又两两全等（绕体对角线旋转 $120^{\circ}$ 恰好把它们轮换过去）。于是每个都占正方体的 $\dfrac13$：

$$V=\frac13a^{3}=\frac13\cdot\underbrace{a^{2}}_{\text{底面积}}\cdot\underbrace{a}_{\text{高}}$$

这三个锥是”歪”的：顶点在底面某个顶点的正上方，而不是底面中心的正上方，所以它们并不是正四棱锥。 要把结论搬到正四棱锥上，还得再用一次”等底等高体积相同”——那句话的价值正在这里。

四、台体公式怎么来：补成大锥，减掉小锥

课本只说了一句”棱台是由棱锥截成的，可以利用两个棱锥的体积差”。把这句话做完：

设棱台上底面积 $S'$、下底面积 $S$、高 $h$。把侧棱延长交于一点，补出一个大棱锥；被截掉的那个 小棱锥与大棱锥相似，相似比

$$k=\sqrt{\frac{S'}{S}}\quad(\text{面积比是相似比的平方})$$

设小棱锥的高为 $H'$，则大棱锥的高是 $H'+h$，由相似得 $\dfrac{H'}{H'+h}=k$，解出

$$H'=\frac{kh}{1-k},\qquad H'+h=\frac{h}{1-k}$$

于是（记 $S'=k^2S$）

$$V=\frac13S(H'+h)-\frac13S'H' =\frac13\cdot\frac{Sh}{1-k}-\frac13\cdot\frac{k^3Sh}{1-k} =\frac13Sh\cdot\frac{1-k^3}{1-k} =\frac13Sh\left(1+k+k^2\right)$$

把 $Sk=\sqrt{S'S}$、$Sk^2=S'$ 代回去，正是

$$V_{\text{棱台}}=\frac13h\left(S'+\sqrt{S'S}+S\right)$$

记不住台体公式时，这条路本身就是备用解法：补成大锥、减掉小锥，全程只用 $\frac13Sh$ 一条公式。 考场上比硬背那个带根号的式子更保险。

五、这一节在题目里长什么样

体积题的解法几乎只有三种动作，认出是哪一种，题就做完了一半：

动作一：分块求和。 组合体切成几块标准体，每块套一条公式，加起来。课本例 2 的漏斗 （上面长方体、下面四棱锥，公共面是边长 $1\,\mathrm m$ 的正方形，两部分高都是 $0.5\,\mathrm m$） 就是模板：

$$V=\underbrace{1\times1\times0.5}_{\text{长方体}}+\underbrace{\frac13\times1\times1\times0.5}_{\text{四棱锥}} =\frac12+\frac16=\frac23\approx0.67\ (\mathrm{m^3})$$

注意这里省了一件事：两块共用那个正方形面，锥的底面不必另算。切在哪里？切在”形状发生变化”的 那个面上——组合体题里这一刀的位置从来不用猜，题目的描述已经指明了。

动作二：从别的信息里把 $S$ 和 $h$ 挖出来。 公式只有两个输入，难点全在读出这两个数： 从直观图里读、从三视图里读、从展开图里读。这是真题里出现最多的形态（见下一节）。

动作三：等积变换。 用第三节那句”等底等高体积相同”换一个更好算的顶点或底面； 或者反过来用体积去求距离——同一个四面体的体积用两个不同的底面算两遍， $\frac13S_1h_1=\frac13S_2h_2$，就解出了点到面的距离。这是立体几何里”求距离”的通用后手。

六、易错清单

按失分频率排：

1. 锥体、台体漏乘 $\dfrac13$。 三条公式挨着记时最容易串，柱体偏偏没有这个因子。 组合体题里漏掉它，得到的值往往正好是某个干扰选项。

2. 把侧棱长或斜高当成高。 高是垂线段。斜棱柱、斜棱锥里这两个数不相等；正棱锥的侧面高 （斜高）与棱锥的高之间差一个勾股定理。

3. 底面认错。 “底面”由结构决定（棱柱是那两个平行全等面，棱锥是那个与顶点相对的面）， 不由摆放姿势决定。一个三棱锥有四个面，把哪个面当底都行——挑最好算的那个当底， 这正是动作三。

4. 台体公式写漏 $\sqrt{S'S}$，或错写成 $\frac13h(S'+S)$。 用第二节那两个退化方向验一遍。

5. 组合体的表面积当成体积那样加。 体积可加，表面积不可加：粘合面要减、挖空的内壁要加。 减的时候还有两个连环坑：只减了一倍（忘了两块各少一个面）， 以及把被贴的那张面整张减掉（露在接触区外的那一圈白丢了）。第一节末尾把这两个坑摊开讲了。

6. 单位与精度。 例 2 要求精确到 $0.01\,\mathrm{m^3}$，$\frac23$ 要写成 $0.67$； 长度单位换算后体积差的是三次方（$1\,\mathrm m^3=10^6\,\mathrm{cm^3}$），换算错就错一个数量级。

7. 组合体分块后错用总高。 上面那一块的高不是整个组合体的高：主视图的外轮廓高 $=$ 下面那块的高 $+$ 上面那块的高，代进锥体公式的必须是锥自己的那一段。 组合体题里命中率最高的干扰项，就是照着”总高”算出来的那个数。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」是构建期从知识图谱派生的完整清单。按下面的顺序做：

• 2015 年第 2 题（三视图还原”正方体 $+$ 正四棱锥”，求体积）：这一节最短的一道，拿来热身。 两块共用同一个边长 $2$ 的正方形面，锥的高只有 $2$——不是主视图那条外轮廓的 $4$——于是 $V=2^{3}+\frac13\times2^{2}\times2=\frac{32}{3}$。它的干扰项 $\frac{40}{3}$ 正是把锥高当成 $4$ 算出来的， 是上面易错清单第 7 条的实物。

• 2021 年第 4 题（三视图还原，底面是等腰梯形的四棱柱，求体积）：先做它。全题只用 $V=Sh$ 一条公式，练的是”把底面的真形状和柱高分别从哪张视图读出来”。

• 2020 年第 5 题（三视图还原「柱 $+$ 锥」，求体积）：本节的标准形态。 动作一加上两条体积公式就是全部：切成一柱一锥，各套一条，相加。 它的四个干扰项分别对应”底面积读错”和”漏乘 $\frac13$“，正好是上面易错清单第 1、2 条的实物。

• 2022 年第 5 题（三视图还原组合体：半球 $+$ 圆柱 $+$ 圆台，求体积）：同一个动作的上限版， 三块各套一条公式；不过那三条公式属于下一节（§8.3.2 旋转体），做它之前先把下一节读完。

• 2014 年第 3 题（三视图还原「三棱柱 $+$ 长方体」，求表面积）：这份清单里唯一一道问表面积、 不问体积的题，因此也是本节第一节那句定义唯一一次真正兑现的地方。做它的时候把两条记法都走一遍—— 「各块完整表面积相加再减 $2\times$ 接触面」得 $156-18$，「沿外表面逐个面点名」得 $48+24+18+9+12+15+12$，两式毫无相似之处却都等于 $138$，这是一次免费的验算。 它的三个干扰项分别对应「三棱柱整块忘了算」「被贴的那张面整张减掉」「两端三角形只算一个」—— 把错误选项逐个反推回去，比核对正确答案更能查出自己的漏洞。 （附带一提：这道题的三视图在本站题目页的原卷截图里被裁掉了，攻略里按原卷尺寸重画了一份。）

需要说明的是：「由三视图还原立体」这一环节在现行人教A版教材里已不再要求（三视图这个概念在 现行 5 册中没有出处），这几道真题里与本节绑定的是体积公式与组合体分块求和——那部分依然 是本节要求。