浙江 2015 · 数学 q02

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三视图还原出的组合体：下面一个棱长 $2$ 的正方体，上面顶一个底边 $2$、高 $2$ 的正四棱锥（主视图与侧视图都是「正方形顶等腰三角形」，俯视图是带两条对角线的正方形 $=$ 四条侧棱的影子） ⟹ $V=2^{3}+\frac{1}{3}\times 2\times 2\times 2=\frac{32}{3}$（官方答案 C）

机位1题图角度2正对 正视面3沿 正视面 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：两张视图是「方块顶个尖」，第三张多了两条对角线

卷面给三张视图，单位 $\mathrm{cm}$：

• 主视图（从前往后看）：下面一个正方形，上面接一个等腰三角形，标注是 $2$；
• 侧视图（从左往右看）：和主视图一模一样；
• 俯视图（从上往下看）：一个正方形，里面画着两条对角线，标注也是 $2$。

三张视图一起把立体分成上下两段：

下段在三个方向的投影都是边长 $2$ 的正方形，所以是棱长 $2$ 的正方体。

上段的正视图、侧视图都是三角形——三角形的投影只可能来自锥体； 俯视图里多出来的两条对角线，正是四条侧棱在水平面上的影子： 四条侧棱从底面正方形的四个顶点出发、汇到同一个顶点，从上往下看就压成两条对角线， 交点就是顶点的投影。交点落在正方形的中心，说明顶点在底面中心的正上方—— 上段是一个正四棱锥，底面边长 $2$，高 $2$。

于是整个立体是「棱长 $2$ 的正方体，上面顶一个底边 $2$、高 $2$ 的正四棱锥」。 剩下的只是把两块的体积加起来。

解法一：还原成「正方体 $+$ 正四棱锥」，两块各套体积公式

第一步：先认下段——三个方向都是边长 $2$ 的正方形

主视图的下半段是边长 $2$ 的正方形，说明下段的宽（左右）与高都是 $2$； 侧视图的下半段也是边长 $2$ 的正方形，它的横向量的是进深（前后），所以进深也是 $2$。 俯视图的外轮廓是边长 $2$ 的正方形，与「宽 $2$、进深 $2$」相符。

三个方向的尺寸都是 $2$，且三张投影都是矩形（没有一条边是斜的、也没有曲边），所以下段是

$$\text{棱长 } 2\ \text{的正方体}.$$

第二步：再认上段——两条对角线说明它是正四棱锥

上段的主视图、侧视图都是等腰三角形，底 $2$、高 $2$：上宽下窄收成一个点，是锥体。

锥体的底面形状要看俯视图。俯视图的外轮廓仍是那个边长 $2$ 的正方形（上段的底面与正方体的上底面重合）， 里面多出的两条线是从四个底面顶点连到锥顶的四条侧棱的投影。 四条侧棱的影子恰好是正方形的两条对角线，且交于正方形的中心，这说明四条侧棱的公共端点（锥顶） 的水平投影就是底面中心，即锥顶在底面中心的正上方。所以上段是

$$\text{底面边长 } 2\text{、高 } 2\ \text{的正四棱锥}.$$

高从主视图上段的三角形高读出，是 $2$——不是外轮廓的总高 $2+2=4$。

第三步：正方体那一块

$$V_{1}=2^{3}=8\ (\mathrm{cm}^{3}).$$

第四步：正四棱锥那一块

棱锥体积 $V=\dfrac13 S h$，其中 $S$ 是底面积、$h$ 是顶点到底面的距离。这里 $S=2\times2=4$，$h=2$：

$$V_{2}=\frac13\times(2\times2)\times 2=\frac{8}{3}\ (\mathrm{cm}^{3}).$$

第五步：两块相加

两块只在正方体的上底面（一张平面）相接，交出来的部分是二维的、不占体积，所以体积可以直接相加：

$$V=V_{1}+V_{2}=8+\frac83=\frac{24+8}{3}=\frac{32}{3}\ (\mathrm{cm}^{3}).$$

对照选项，$\frac{32}{3}\,\mathrm{cm}^{3}$ 是 C。

答案：C。

顺带看一眼另外三个选项各是哪种错法： $8$ 是只算了正方体、把锥忘了； $12=8+4$ 是把 $\frac13$ 写成了 $\frac12$； $\frac{40}3=8+\frac{16}3$ 是把锥的高取成了外轮廓的总高 $4$。

解法二：不套锥体公式：正方体剖成三个全等四棱锥，再用祖暅原理搬到正的那个上

这条路只用到「正方体体积 $=$ 棱长的立方」和祖暅原理，全程不引用锥体体积公式， 反过来把公式里那个 $\frac13$ 现场造出来。

第一步：把立体还原出来

主视图、侧视图都是「边长 $2$ 的正方形 $+$ 底 $2$ 高 $2$ 的等腰三角形」， 俯视图是「边长 $2$ 的正方形 $+$ 两条对角线」。

下段三个方向的投影都是边长 $2$ 的正方形，是棱长 $2$ 的正方体； 上段的正视、侧视投影是三角形，说明是锥体，而俯视图里的两条对角线是四条侧棱的投影、 交点落在正方形中心，说明锥顶在底面中心正上方。所以上段是底面边长 $2$、高 $2$ 的正四棱锥， 它的底面就是正方体的上底面。整个立体的体积

$$V=V_{1}+V_{2},\qquad V_{1}=\text{正方体体积},\quad V_{2}=\text{正四棱锥体积},$$

两块只沿一张平面相接，不重叠，可以直接相加。

第二步：正方体那一块直接读

$$V_{1}=2^{3}=8 .$$

第三步：把一个棱长 $2$ 的正方体剖成三个全等的四棱锥

建系让正方体占据 $[0,2]^{3}$，取顶点 $K=(2,2,2)$。不含 $K$ 的面恰有三个：$x=0$、$y=0$、$z=0$。 以它们各为底、以 $K$ 为公共顶点，作三个四棱锥 $\Omega_{x},\Omega_{y},\Omega_{z}$。

先把 $\Omega_{z}$ 写成坐标条件。 它的底面上的点是 $(u,v,0)$（$u,v\in[0,2]$）， $K$ 与底面点连成的线段上的点为

$$\bigl(2+t(u-2),\;2+t(v-2),\;2-2t\bigr),\qquad t\in[0,1].$$

第三个坐标 $z=2-2t$ 给出 $t=1-\dfrac z2$；此时第一个坐标随 $u$ 扫过 $[2-2t,\,2]=[z,\,2]$， 第二个坐标同理扫过 $[z,2]$。所以

$$\Omega_{z}=\{(x,y,z)\in[0,2]^{3}\;:\;x\ge z\ \text{且}\ y\ge z\},$$

也就是「$z$ 是三个坐标里最小的那个」。把下标轮换，得到 $\Omega_{y}$ 是 $y$ 最小的点、$\Omega_{x}$ 是 $x$ 最小的点。

它们拼满正方体。 正方体里任取一点，它的三个坐标里总有一个最小，于是它至少属于一个锥； 最小者唯一时它只属于一个锥，出现并列最小只发生在 $x=y$、$y=z$、$z=x$ 这三张平面上， 平面不占体积。所以三个锥的体积之和等于正方体的体积。

它们两两全等。 绕体对角线 $K(2,2,2)$–$O(0,0,0)$ 旋转 $120^{\circ}$，作用在坐标上就是轮换 $x\to y\to z\to x$。 它把正方体映到自身，同时把 $\Omega_{x}\to\Omega_{y}\to\Omega_{z}\to\Omega_{x}$，所以三者全等，体积相等。

三块全等又拼满，于是每块的体积是

$$V(\Omega_{z})=\frac13\times 2^{3}=\frac83 .$$

注意 $\Omega_{z}$ 的底面是边长 $2$ 的正方形、顶点 $K$ 到底面 $z=0$ 的距离是 $2$—— 底面积与高，和题目里那个正四棱锥完全一样，区别只在于 $\Omega_{z}$ 的顶点在底面某个顶点的正上方（是「歪」的）， 而题目里的顶点在底面中心的正上方（是「正」的）。

第四步：祖暅原理——歪的和正的体积相同

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，若被平行于这两个平面的任一平面所截、 所得两个截面的面积总相等，则两个几何体的体积相等。先验前提。

两者都夹在同一对平行平面之间。 $\Omega_{z}$ 夹在 $z=0$ 与 $z=2$ 之间； 把题中的正四棱锥平移到底面也落在 $z=0$（平移不改变体积），它也夹在 $z=0$ 与 $z=2$ 之间。

逐层截面面积相等。 用平面 $z=t$（$0\le t<2$）去截：

• 截 $\Omega_{z}$：由第三步的坐标条件，截得 $\{(x,y):x\ge t,\;y\ge t\}\cap[0,2]^{2}=[t,2]\times[t,2]$， 是边长 $2-t$ 的正方形，面积 $(2-t)^{2}$。
• 截正四棱锥：以锥顶为位似中心作位似，比为 $k=\dfrac{2-t}{2}$（顶点到 $z=t$ 的距离与顶点到底面距离之比）， 底面正方形被压成截面正方形，边长 $2k=2-t$，面积也是 $(2-t)^{2}$。

两个面积对每个 $t$ 都相等，前提齐了。由祖暅原理，

$$V_{2}=V(\Omega_{z})=\frac83 .$$

第五步：相加

$$V=V_{1}+V_{2}=8+\frac83=\frac{32}{3}\ (\mathrm{cm}^{3}),$$

对照选项是 C。

答案：C。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是考场上的写法：还原、分块、套公式、相加，四步之内出答案。 它的全部风险集中在「读图」那一步——尺寸是从哪张视图上读的、读的是哪个方向， 一旦读错，后面算得再准也白搭。这道题的读图有两处硬信息： 俯视图的两条对角线（钉死「锥顶在中心正上方」，既排除了「上面缩成一个小正方形」的台状体，也排除了顶点偏到一边的斜锥）， 以及主视图上段的三角形高 $2$（不是外轮廓的总高 $4$）。

解法二的价值不在这道选择题上，而在于它交代了 $\frac13$ 的来历： 正方体挑一个顶点、剩下三张面各当一次底，切出来的三个四棱锥全等且拼满， 每个自然占 $\frac13$。再用祖暅原理把「歪锥」换成「正锥」，就得到题目要的那一块。 代价是步骤长了一倍，而且必须自己验祖暅原理的两个前提（同一对平行平面之间、逐层截面面积相等）， 少验一个就不成立。

两条路的共同起点是同一张还原图，共同终点是同一个加法： 上下两块只沿一张平面相接，体积可以直接相加，不必扣除什么。

一句话记住这道题：俯视图里的对角线是侧棱的影子，交点在中心就是正棱锥； 锥的高各读各的，别拿外轮廓的总高。