8.1 基本立体图形

这一节是第八章「立体几何初步」的开头，任务只有一个：学会给一个立体图形”验明正身”。 学完之后，看到任何一个立体，你都能说出两件事——它属于哪一类（柱、锥、台、球）， 它是单一几何体还是组合体（由哪些简单几何体拼出来或挖出来的）。 后面几节的线面关系、空间角，全都要先能认出题面里的几何体，这一节就是那一步。

一、两个总概念：多面体与旋转体

课本的第一步是抽象：物体占据空间的一部分，如果只看它的形状和大小、不看颜色材料重量， 抽象出来的空间图形就叫空间几何体。然后按”围成它的面”把所有几何体一刀切成两类：

• 多面体的术语是三个：面（围成它的多边形，如面 $ABE$）、棱（两个面的公共边）、 顶点（棱与棱的公共点）。纸箱、金字塔、茶叶盒都是多面体。
• 旋转体由一个动作定义：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转， 转出来的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体，那条定直线叫轴。 纸杯、奶粉罐、篮球、铅锤都是旋转体。

判断一个物体抽象成什么几何体，先问一句：围成它的面里有没有曲面？ 有曲面就是旋转体那一族， 全是平面多边形就是多面体这一族。这一问定下大方向，下面每一步都是往里细化。

二、柱体之一：棱柱（多面体侧的”柱”）

棱柱的定义是这一节里最值得逐字拆的定义，课本给的版本可以拆成三条：

1. 有两个面互相平行——这两个面叫底面，它们是全等的多边形；
2. 其余各面都是四边形——这些面叫侧面；
3. 相邻两个四边形的公共边都互相平行——这些公共边叫侧棱。

第 3 条不是摆设：它保证所有侧棱互相平行且等长，保证每个侧面都是平行四边形。 缺了第 3 条，“看着像柱”的多面体就不是棱柱——斜截的柱状体上、下两个面不平行， 侧棱不都平行，就不能叫棱柱（习题 8.1 第 2 题的（2）就是专门考这一点）。

其余术语：侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点。

记法：用表示底面各顶点的字母表示，上下对应着写，如棱柱 $ABCDEF - A'B'C'D'E'F'$。

分类有两个方向：

• 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
• 按侧棱与底面的关系：
  • 直棱柱：侧棱垂直于底面（侧面都是矩形）；
  • 斜棱柱：侧棱不垂直于底面（侧面是平行四边形但不是矩形）；
  • 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
  • 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。

这一堆名词之间的包含关系（课本例 1 的 Venn 图，图 8.1-9）值得背下来：

• 棱柱 ⊃ 直棱柱 ⊃ 长方体（底面是矩形的直四棱柱）；
• 棱柱 ⊃ 平行六面体，而长方体同时也是平行六面体（矩形是平行四边形）—— 所以长方体的圈画在”直棱柱”与”平行六面体”两个圈的交叠处；
• 正棱柱是直棱柱的特殊情形（底面还得是正多边形）。

判断”是不是棱柱”的三连问：① 两个底面互相平行且全等吗？② 所有侧棱互相平行且等长吗？ ③ 每个侧面都是平行四边形吗？三条全过才是棱柱。写作业时请把三条都写出来，只写一条不算验完。

三、柱体之二：圆柱（旋转体侧的”柱”）

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体。

术语与棱柱一一对应，但说法换成旋转的语言：

• 轴：旋转轴本身；
• 底面：垂直于轴的边旋转而成的两个圆面（对应棱柱的底面）；
• 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面（对应棱柱的侧面）；
• 母线：平行于轴的边，无论旋转到什么位置都叫母线。

记法：圆柱 $O'O$（用表示轴的字母）。

把棱柱和圆柱放在一起看”柱”的共同点：两个互相平行的底面，侧面由一条”边”平移扫出 （多面体是平移多边形，旋转体是转一个圆）。柱体 = 棱柱 + 圆柱。

四、锥体：棱锥与圆锥

棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面都是有一个公共顶点的三角形（侧面）。 有公共顶点的各三角形的公共边叫侧棱，各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点。 记作棱锥 $S-ABCD$（先写顶点，再写底面各顶点）。

• 按底面边数分三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体（它有四个面）；
• 正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面。 正棱锥的侧面一定是全等的等腰三角形（这个性质在习题 8.1 第 6 题（4）里会用到）。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的旋转体。 和圆柱一样有轴、底面（直角边旋转成的圆面）、侧面（斜边旋转成的曲面）、母线。 记作圆锥 $SO$。

锥体 = 棱锥 + 圆锥，共同点是侧面都收拢到一个顶点——这是”锥”和”柱”的直观区别： 柱的侧棱（母线）互相平行，锥的侧棱（母线）汇聚于一点。

五、台体：棱台与圆台——“截”出来的几何体

台体不是独立长出来的，是截出来的：

• 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的那部分多面体。 原棱锥的底面叫下底面，截面叫上底面；也有侧面、侧棱、顶点（照棱锥的术语自己推）。 记作棱台 $ABCD - A'B'C'D'$。由三棱锥、四棱锥……截得的分别叫三棱台、四棱台……
• 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。 圆台也有轴、底面、侧面、母线，记作圆台 $O'O$。 课本的探究问圆台能不能由平面图形旋转得到——能：直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周，得到圆台 （垂直于轴的底边转出下底面、另一条底边转出上底面、斜腰转出侧面）。

判断”是不是台体”的三连问（这是全节失分最重的一个点）：① 上、下底面互相平行且相似吗？ ② 各侧面是梯形吗？③ 侧棱（母线）延长后交于一点吗？三条缺一不可。 习题 8.1 第 4 题的三个图恰好把三条各废了一条：一个侧棱延长不交于一点、 一个交于一点但截面不平行于底面、一个截面是斜的——所以三个都不是台体。

柱、锥、台还能互相转化（课本第 104 页的探究）：台的上底面缩成一点就变成锥， 台的上底面放大到与下底面全等就变成柱；反过来，锥被平行于底面的平面截去顶部就是台。 记这一条比记三个孤立定义有用：柱、锥、台是”底面一个变”的一家人。

六、球

球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫球面，球面围成的旋转体叫 球体，简称球。半圆的圆心叫球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫半径， 连接球面上两点且经过球心的线段叫直径。记作球 $O$。

球的特别之处：它是旋转体，不是多面体——球面是曲面，“围成球的面”不是多边形， 所以球没有面、棱、顶点这些说法。

七、把八种简单几何体摆进一张表

柱体、锥体、台体、球是四类简单几何体，各有多面体和旋转体两族：

再加上例 1 的包含关系（图 8.1-9 的文字版）：

• 多面体 ⊃ 棱柱 ⊃ 直棱柱 ⊃ 长方体，棱柱 ⊃ 平行六面体 ⊃ 长方体；
• 多面体 ⊃ 棱锥 ⊃ 四面体（三棱锥）；
• 多面体 ⊃ 棱台；
• 棱柱、棱锥、棱台两两不相交——一个多面体不可能既是棱柱又是棱锥， 也不可能既是棱柱又是棱台。判断时如果觉得”又像这个又像那个”，通常是定义没验完。

八、简单组合体：拼接与挖切

现实中的物体大多不是单一几何体，而是简单组合体，构成方式只有两种：

1. 拼接：由简单几何体拼在一起，如图 8.1-14（1）（2）——塑料瓶（圆柱、圆台、圆柱自上而下拼接）、 草坪灯（球立在圆柱上）；
2. 截去或挖去：由简单几何体切掉一部分，如图 8.1-14（3）（4）——截去一个角的正方体 （截掉的是三棱锥）、挖了两个方孔的长方体。螺母（六棱柱挖去圆柱形通孔）也是挖切型。

课本例 2 是”旋转成组合体”的样板：直角梯形以它的下底 $AB$ 所在直线为轴旋转一周。 关键一步是过 $D$ 作 $DE \perp AB$，垂足为 $E$——这条垂线把直角梯形分成两部分： 矩形 $EBCD$ 和直角三角形 $AED$。矩形绕轴转出圆柱（轴是 $BE$，底面分别是 $\odot B$ 和 $\odot E$， 侧面由上底 $CD$ 扫出），三角形绕轴转出圆锥（顶点是 $A$，底面是 $\odot E$）， 两个底面重合，整体就是”圆柱 + 圆锥”的组合体。

识别组合体的通用动作：先找接缝（或截面），把图形沿接缝分成几块，每一块单独验明正身， 再说明块与块之间是拼还是挖。

九、易错清单（按失分频率排）

1. 台体只验了”上、下底面平行”。还差”侧棱（母线）延长交于一点”和”截面平行于底面”。 习题 8.1 第 4 题三个图全都栽在这两条上。
2. 棱柱只验了”有两个面平行”。还差”其余各面是四边形且相邻公共边互相平行”。 斜截的柱状体（习题 8.1 第 2 题（2））就是反例。
3. “直四棱柱是长方体”。错：直四棱柱的底面只需要是四边形（梯形也可以）， 底面是矩形的才是长方体。同理，正棱柱 ≠ 底面是正多边形的棱柱，它还要求是直棱柱。
4. 旋转成体时没看轴与图形的位置关系。同一个圆，绕不相交的轴转出环面（汽车内胎就是它， 习题 8.1 第 3 题选（C）），绕直径转出球面；两个同心圆绕过圆心的轴转出空心球壳、 绕外面的轴转出”横截面是圆环”的厚环——都不是内胎。旋转题先画轴，再看图形在轴的哪一侧、相不相交。
5. 面数数错。三棱柱有 5 个面（最少），四面体有 4 个面（多面体不可能只有 3 个面）， 四棱柱、四棱台、五棱锥都是 6 个面。数面就按”两个底面 + 一圈侧面”或”一个底面 + 一圈侧面”数。
6. 记法记混。多面体用顶点字母记（棱柱 $ABCDEF - A'B'C'D'E'F'$、棱锥 $S-ABCD$）， 旋转体用轴的字母记（圆柱 $O'O$、圆锥 $SO$、球 $O$）。看到”棱台 $ABCD - A'B'C'D'$“要知道 它没有顶点字母 $S$——因为锥顶被截掉了。

十、这一节的真题：怎么读

本节的知识树实体是正三棱柱和正四棱柱（“底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱” 这句话的落点，在课本第 99 页）。页面下方的真题清单里，考到它们的题不止一道，下面挑三道读：

• 先读：2025 新课标Ⅰ 第 9 题——在正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 里判断四条线面关系。 读它时只做一件事：把”正三棱柱”还原成”底面是正三角形、侧棱垂直于底面”，再和选项里的 垂线、平行线一一对照。
• 再读：2022 浙江 第 8 题——在正三棱柱里比较线线角、线面角、二面角的大小。 读它时注意”正”字给的结构：$AA_1$ 垂直于底面，于是两两垂直的方向特别多。
• 上限：2023 新高考Ⅰ 第 18 题——正四棱柱的大题，建系算二面角。 正四棱柱”底面正方形 + 侧棱垂直底面”天然给出三轴两两垂直，是后面向量法的起点。

这三道的完整解法要用到第 8 章后面几节的线面关系与空间角，现在读它们只认几何体—— 把题面里的”正三棱柱""正四棱柱”认出来、结构说清楚，就达到了这一节对它们的要求。

本节覆盖课本第 97–106 页（PDF 页 0104–0113），课本习题共 18 道：第 101 页「练习」4 道， 第 104 页「练习」4 道，第 105–106 页「习题 8.1」10 道（复习巩固 1–5、综合运用 6–9、拓广探索 10）。 逐题做 17 道：练习（第 104 页）第 4 题「观察我们周围的物体，说出这些物体所表示的几何体的主要 结构特征」不收——它是开放性观察题，没有指定物体、也没有唯一解答。练习（第 101 页）第 4 题 「设计一个平面图形」答案不唯一，但它有明确的正确性标准（折出来是直三棱柱），属于可检验的设计题， 我们给一种可行设计并逐条验证。

每道题先逐字引课本的题面（引用块，读图题把附图引用行也带上），再写解答。

练习（第 101 页）第 1 题

1. 观察图中的物体，说出它们的主要结构特征.

题面里的”下图”是第 101 页扫描图里第 1 题的四幅实物照片，逐幅说：

1. 帐篷：直五棱柱（横放）。前后两个”山墙”是互相平行且全等的五边形（下方矩形加 上方等腰三角形拼成），其余各面（底面、两面侧墙、两面屋顶）都是矩形。
2. 书：长方体（直四棱柱）。六个面都是矩形，相对的面互相平行且全等，相邻棱互相垂直。
3. 玻璃金字塔：正四棱锥。底面是正方形，四个侧面是全等的等腰三角形， 顶点在底面中心的正上方，各侧棱交于顶点。
4. 带盖垃圾桶：简单组合体。桶身是四棱台（上口大、下底小，上、下底面是平行且相似的矩形， 四个侧面是梯形，侧棱延长交于一点）；桶盖近似一个扁的长方体（四棱柱），拼在桶身上面。

四幅图正好覆盖了这一节的四类：棱柱、棱柱（长方体）、棱锥、棱台加组合体。

练习（第 101 页）第 2 题

2. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画 “×”.

(1) 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. （）

(2) 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体. （）

(1) 错。 前半句对、后半句错。长方体是四棱柱：底面是矩形（四边形），侧棱垂直于底面， 所以是直四棱柱；但直四棱柱的底面只需要是四边形——底面是梯形的直四棱柱就不是长方体。 “直四棱柱是长方体”相当于把”四边形”偷换成了”矩形”。

(2) 对。 逐个数面：四棱柱有 2 个底面 + 4 个侧面 = 6 个面；四棱台有 2 个底面 + 4 个侧面 = 6 个面； 五棱锥有 1 个底面 + 5 个侧面 = 6 个面。三者都是六面体。

自检：数面就按”两个底面加一圈侧面”（柱、台）或”一个底面加一圈侧面”（锥）数， 一圈几个侧面看底面的边数。

练习（第 101 页）第 3 题

3. 填空题

(1) 一个几何体由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是 ____。

(2) 一个多面体最少有____个面，此时这个多面体是____.

(1) 直五棱柱。 7 个面 = 2 个五边形 + 5 个侧面：两个互相平行且全等的五边形作底面， 其余 5 个面是四边形，且相邻四边形的公共边（侧棱）都平行——这是五棱柱；侧面是矩形， 说明侧棱垂直于底面，所以是直五棱柱。补充一句：各侧面全等意味着五边形的五条边相等 （矩形的底边分别是五边形的各条边），即底面是各边相等的五边形。

(2) 4 个面，四面体（三棱锥）。 三个面围不成封闭的立体：两面交于一条棱，第三个面盖不上。 最少的情形是一个底面加一圈三个侧面，即三棱锥，它有 4 个面、4 个顶点、6 条棱。

练习（第 101 页）第 4 题

4. 设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱.

设计题，答案不唯一，这里给一种可行设计，并说明为什么它成立。

设计：先定好要折成的直三棱柱的底面三角形（三边 $a$、$b$、$c$）和高 $h$。取三个矩形， 宽分别等于 $a$、$b$、$c$（长都等于 $h$），横着排成一列（相邻边之间画虚线作折痕）； 在中间那个矩形的一组对边上，各接一个与底面全等的三角形（三角形与矩形相接的那条边，恰好 等于这个矩形的宽）。

验证：沿折痕折叠后——三个矩形围成一圈，成为三棱柱的三个侧面（矩形说明侧棱垂直于底面）， 围成的管口是一个三角形，三边正是 $a$、$b$、$c$（三个矩形的宽各贡献管口的一边）；两个三角形 分别折起成为上、下两个底面，它们的边与管口三边一一对应、正好盖住，且互相平行、全等。于是得到： 两个三角形底面 + 三个矩形侧面，侧棱垂直于底面，正是直三棱柱。底面可以是任意三角形—— 关键在让三个矩形的宽分别等于底面三角形的三条边（按顺序排），三角形的三边才会与管口密合。

自检：折起来后两个三角形面互相平行（沿中间矩形的两条平行边等角折叠），三个矩形都垂直于 底面——两条都符合，设计成立。你也可以换一种排法，比如把两个三角形接到两端的矩形上，只要 折叠后两个三角形能分别成为上、下底面即可。

练习（第 104 页）第 1 题

1. 观察图中的物体，说出它们的主要结构特征.

四幅实物照片，逐幅说：

1. 杯（花盆状容器）：圆台。上口大、下底小，上、下是两个互相平行的圆面，侧面是曲面， 把母线延长交于一点——相当于用平行于圆锥底面的平面截去圆锥顶部剩下的部分。
2. 带盖金属罐：主体是圆柱；罐盖是直径略大的一截短圆柱。严格说是一个由两个同轴圆柱 拼接而成的简单组合体，近似看作圆柱也合理。
3. 排球：球。表面是球面，球面上每一点到球心的距离都相等。
4. 交通锥：简单组合体。上部是圆锥（尖顶朝上，底面是圆），下部是扁圆柱形的底座， 圆锥立在底座上，两者拼接而成。

练习（第 104 页）第 2 题

2. 说出图中物体的主要结构特征.

两幅实物照片：

1. 粮仓：简单组合体。下部仓身是圆柱，上部仓顶是圆锥；圆锥的底面与圆柱的上底面同轴 （基本上重合），两者拼接而成。
2. 六角螺母：简单组合体。外形是正六棱柱（上、下底面是互相平行的六边形，侧面是六个矩形）， 中间挖去一个圆柱形的通孔——这是”挖去”型的组合体，即六棱柱挖掉一个圆柱。

练习（第 104 页）第 3 题

3. 如图，以三角形 $ABC$ 的一边 $AB$ 所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．说出这个几何体的结构特征.

这个几何体是由两个圆锥组成的简单组合体，两个圆锥的底面是同一个圆面。

理由：绕 $AB$ 旋转时，边 $AC$ 生成一个圆锥面（顶点是 $A$），边 $BC$ 生成另一个圆锥面 （顶点是 $B$），点 $C$ 旋转出一个圆——这个圆就是两个圆锥共同的底面，圆心是 $C$ 到 $AB$ 的垂足，半径是垂线段 $CH$ 的长。整个几何体就像两个圆锥底对底粘在一起。

自检：过轴 $AB$ 且含 $C$ 的平面去截这个几何体，截面是四边形 $ACBC'$（$C'$ 是 $C$ 关于 $AB$ 的对称点），它正好由三角形 $ACC'$ 与三角形 $BCC'$ 拼成，对应两个圆锥的截面。

补充一个退化情形：若 $AC \perp AB$（垂足与 $A$ 重合），顶点 $A$ 那个圆锥退化成圆面， 几何体就是顶点为 $B$ 的一个圆锥——这正是”直角三角形绕直角边旋转一周得到圆锥”。 图里是一般位置（垂足在线段 $AB$ 上），所以标准答案是两个共底面的圆锥。

习题 8.1 第 1 题

1. 如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，指出经过顶点 $D$ 的棱和面.

题面里的”如图”是第 105 页扫描图里第 1 题的长方体直观图（$D$ 在左下后方）。

经过顶点 $D$ 的棱有 3 条：$DA$、$DC$、$DD_{1}$。

经过顶点 $D$ 的面有 3 个：底面 $ABCD$、左侧面 $ADD_{1}A_{1}$、后面 $DCC_{1}D_{1}$。

自检：长方体的每个顶点都恰好连出 3 条棱、属于 3 个面（三棱三面），这是因为过一点的三条棱 两两垂直、分别属于三个两两垂直的面。按这个规律核对：$D$ 连向三个方向（前、右、上）的邻居 $A$、$C$、$D_{1}$，三条棱分别是 $DA$、$DC$、$DD_{1}$；三个面分别是这三条棱两两所在的平面。

习题 8.1 第 2 题

2. 如图，下列几何体中为棱柱的是 ____ （填写序号）.

答案：(1)(2)(5)。

逐个按棱柱定义的三条验：①有两个面互相平行且全等；②其余各面都是四边形；③相邻两个四边形的 公共边都互相平行。

• （1）横放的三棱柱：两个三角形底面互相平行且全等，三个侧面是平行四边形——是棱柱；
• （2）长方体（带 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 顶点标注）：两个矩形底面互相平行且全等， 侧面是矩形——是棱柱；
• （3）斜截的柱状体：上、下两个三角形面不平行（三条侧棱长短不一），侧面是梯形不是 平行四边形——不是棱柱；
• （4）圆柱：旋转体，没有”棱”——不是棱柱；
• （5）底面为梯形的四棱柱：两个梯形底面平行且全等，侧面是矩形——是棱柱；
• （6）四棱台：侧面是梯形，侧棱延长交于一点（锥顶被截掉了）——不是棱柱；
• （7）三棱锥：没有两个平行的面——不是棱柱。

答案 (1)(2)(5)。这道题的关键动作：棱柱的底面可以是任何多边形（三角形、梯形都行），上下底面必须平行，侧面必须是平行四边形。

习题 8.1 第 3 题

3. 如图，汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ）.

答案：（C）。

汽车内胎是一个环面（轮胎形）：把它想象成一根弯成圈的管子，管子的横截面是一个圆。 把横截面那个圆绕一条与它共面但不相交的轴旋转一周，就得到环面——这正是选项（C） （一个圆，轴在圆的左侧、与圆不相交）。

其余三个为什么不行：

• （A）两个同心圆（圆环），轴穿过共同圆心：圆环绕过圆心的轴旋转，得到的是空心球壳状的图形；
• （B）两个同心圆（圆环），轴在圆环外侧：得到横截面仍是圆环的”厚环”，中间还有一圈洞， 不是内胎那种实心截面的管子；
• （D）一个圆，轴穿过圆心：圆绕直径旋转得到的是球面。

这道题的关键动作：旋转成体，先看轴与图形的位置关系——相交、相切、相离，结果完全不同。

习题 8.1 第 4 题

4. 如图，判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.

三个几何体都不是台体。

台体（棱台、圆台）的定义是”用平行于底面的平面去截棱锥（圆锥），底面与截面之间的部分”， 由此得到两条硬标准：①上、下底面互相平行且相似；②侧棱（母线）延长后交于一点。两条都要满足。

• （1）：上、下底面平行且相似，但四条侧棱延长后不交于一点（延长线各奔一方）， 不是由棱锥平行于底面截得的——不是台体；
• （2）：侧棱延长交于一点（能补回一个棱锥），但截面不平行于底面（上、下底面不平行， 上底面不是下底面的相似形）——不是台体；
• （3）：圆锥被不平行于底面的平面斜截（截面是斜的椭圆），母线延长虽然交于一点—— 不是圆台。

这道题的关键动作：判断台体把两条标准都验一遍，只验”底面平行”或者只验”侧棱交于一点”都算漏验。

习题 8.1 第 5 题

5. 如图，说出图中两个几何体的结构特征.

(第5题)

两个都是拼接型的简单组合体：

1. 圆锥与圆台拼接：上面是圆锥，下面是圆台（上底面大、下底面小），圆锥的底面与圆台的 上底面是同一个圆面，两者同轴，沿这个公共圆面拼接而成。
2. 四棱锥与四棱柱拼接：上面是四棱锥，下面是四棱柱（长方体形），四棱锥的底面与四棱柱的 上底面是同一个四边形面，沿这个公共面拼接而成。

这道题的关键动作：先找接缝——两个简单几何体的公共面就是接缝；接缝一侧是锥、一侧是柱或台， 就各说各的结构特征，最后说明”拼接”。

习题 8.1 第 6 题

6. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 一个棱柱至少有 5 个面. ( )

(2) 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. （）

（3）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （）

（4）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. （）

(1) 对。 棱柱的底面边数最少是 3（三角形），三棱柱有 2 个底面 + 3 个侧面 = 5 个面， 不可能更少。

(2) 对。 平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，相对的两个面全等。设底面是 $\square ABCD$、 顶面是 $\square A'B'C'D'$：上、下底面全等（棱柱定义）；相对的两个侧面，比如面 $ABB'A'$ 与面 $DCC'D'$，沿向量 $\overrightarrow{AD}$ 平移后对应顶点 $A \to D$、$B \to C$、$B' \to C'$、$A' \to D'$ 恰好重合——$ABCD$、$A'B'C'D'$、$ADD'A'$ 都是平行四边形保证了三组对应点的位移一致 （$A \to D$ 与 $B \to C$ 同向等长，侧棱 $AA'$ 与 $DD'$ 平行且相等），平移不改变图形，故两面对应边 平行且相等，是全等的平行四边形。

(3) 对。 棱锥的侧面都是三角形，所以平行四边形面只能是底面（底面是多边形， 只有底面可能是四边形）；底面是四边形，就是四棱锥。

(4) 对。 正棱锥的底面是正多边形、顶点与底面中心的连线垂直于底面。设顶点为 $S$、底面中心为 $O$，则 $SO \perp$ 底面，而底面正多边形的各顶点到 $O$ 的距离都相等（$OA = OB = \cdots$）， 于是直角三角形 $SOA$、$SOB$、…… 全等，各侧棱 $SA = SB = \cdots$ 相等， 每个侧面都是等腰三角形，且彼此全等。

自检：(3) 的推理链是”侧面是三角形 → 平行四边形只能是底面 → 底面是四边形 → 四棱锥”， 每一步都是定义直接给的。

习题 8.1 第 7 题

7. 如图，右边长方体中由左边的平面图形围成的是（）.

答案：（D）。

先读左边的展开图（第 106 页扫描图第 7 题左图）：它是长方体的十字形展开图，6 个矩形—— 竖着一列 4 个，其中第 2 个左右各带一个翼。颜色：第 1 个（最上）白、第 2 个青、左右两翼青、 第 3 个白、第 4 个（最下）青。

折成长方体后，同色的面必须两两相对（展开图里”隔一个”或”隔两个”的面对应相对面）： 青色的 4 个面组成两对相对面，白色的 2 个面组成一对相对面。也就是说，折出的长方体有 4 个青色面（两对相对）+ 2 个白色面（一对相对）。

逐项核对右边四个立体图（每个立体图能看到 3 个面，对面反推剩下的 3 个）：

• （A）前面青、顶面和端面白：对面反推，后面青、底面白、另一端面白——只有 2 个青面，不符；
• （B）顶面青、其余白：只有 2 个青面，不符；
• （C）顶面、前面、左端面全青：对面反推全是青——6 个青面，不符；
• （D）顶面青、左端面青、前面白：对面反推，底面青、右端面青、后面白——正好 4 个青面 （两对相对面）+ 2 个白面（一对相对面），与展开图吻合。

答案（D）。这道题的关键动作：展开图折盒问题，先按”同色对面”或”相邻关系”把面配对，再看立体图。

习题 8.1 第 8 题

8. 如图，长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 被一个平面截成两个几何体，其中 $EH \parallel B'C' \parallel FG$. 请说出这两个几何体的名称.

题面里的”如图”是第 106 页扫描图第 8 题的图：截面四边形 $EFGH$ 的四个顶点分别在棱 $A'B'$、$BB'$、$CC'$、$D'C'$ 上（$E$、$H$ 在上底面，$F$、$G$ 在右侧棱上）， 且 $EH \parallel B'C' \parallel FG$。

含顶点 $B'$、$C'$（右上前方）的那一块是直三棱柱：两个底面是直角三角形 $B'EF$ 和 $C'HG$， 它们分别在前面、后面的平面内，互相平行且全等——$EH \parallel B'C'$ 保证 $B'E = C'H$， $FG \parallel B'C'$ 保证 $B'F = C'G$；三个侧面 $B'C'HE$、$B'FGC'$、$EFGH$ 都是矩形， 所以是直三棱柱。

另一块（含 $A$、$D$ 和整个下底面）是直五棱柱：截面在前、后面的平面里各切掉角上一个三角形 （前面切掉 $\triangle EB'F$、后面切掉 $\triangle HC'G$），于是两个底面是五边形 $ABFEA'$ 和 $DCGHD'$（分别在前、后面的平面内，互相平行且全等），五条侧棱 $AD$、$BC$、$FG$、$EH$、$A'D'$ 互相平行且垂直于底面，五个侧面 $ABCD$、$BFGC$、$EFGH$、$A'EHD'$、$ADD'A'$ 都是矩形 （$EFGH$ 是矩形：$EF$ 在前面内、$EH \parallel B'C'$ 垂直前面，故 $EF \perp EH$）。

自检：数面验证——含 $B'$、$C'$ 的那块有 6 个顶点、5 个面（2 个三角形 + 3 个矩形），是三棱柱； 这一块有 10 个顶点（$A,B,C,D,A',D',E,F,G,H$）、7 个面（2 个五边形 + 5 个矩形），正是五棱柱 （10 顶点、7 面）。条件 $EH \parallel B'C' \parallel FG$ 的作用是保证截面是”平”的： $EFGH$ 是矩形（$EF \perp EH$），两条切口的对应边相等，两块才能各成一个棱柱。

习题 8.1 第 9 题

9. 如图，以 $\square ABCD$ 的一边 $AB$ 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体。画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征。

旋转所得几何体是一个圆柱，圆柱一端外接一个圆锥，另一端被挖去一个圆锥形空腔。

三边各转出什么，由各边与轴 $AB$ 的位置关系决定：

• $DC \parallel AB$（平行四边形对边平行）：$DC$ 绕轴 $AB$ 旋转生成圆柱的侧面。圆柱的轴 就是 $AB$，两个底面圆分别是 $C$、$D$ 旋转生成的圆（半径相等，都是 $DC$ 到 $AB$ 的距离）；
• $AD$、$BC$ 与轴 $AB$ 分别相交于 $A$、$B$：各绕轴旋转生成圆锥的侧面，顶点分别是 $A$、 $B$，底面分别是 $D$、$C$ 旋转生成的圆。两个锥面一个向外张开、一个向内收拢，由 $D$、$C$ 相对 $AB$ 的轴向位置决定（平行四边形对边同向倾斜，$D$、$C$ 朝轴的同一端偏移）： 圆柱在 $C$、$D$ 的旋转圆之间，所以偏移所向一端的轴上顶点落在圆柱内部，它那个锥面 从圆柱端面向内收拢到轴上的顶点，是圆柱该端被挖去的圆锥形空腔的内壁（腔口是 $D$ 或 $C$ 旋转生成的圆面）；另一端的顶点在圆柱之外，它那个锥面从该端向外张开，外接在 圆柱上（底面圆与圆柱该端的底面圆重合）。具体到图中情形：$A$ 为上端，$D$ 比 $A$ 高、 $C$ 比 $B$ 高，即 $D$、$C$ 朝 $A$ 端偏移——于是 $A$ 端空腔、$B$ 端外接圆锥。 （若 $D$、$C$ 朝 $B$ 端偏移，则 $B$ 端空腔、$A$ 端外接，其余说法相同。）

于是这个组合体的结构特征（按图中情形）：圆柱与圆锥同轴；$B$ 端外接圆锥的底面圆与圆柱的 底面圆重合；$A$ 端的空腔顶点在圆柱的轴上、腔口圆与圆柱该端的底面圆重合。自检：过轴 $AB$ 的平面截这个几何体，截面是平行四边形 $ABCD$ 与其关于 $AB$ 的镜像拼成的图形——把它绕边 $AB$ 旋转一周就得到这个几何体（边 $BC$ 扫出外接圆锥、边 $DC$ 扫出圆柱、边 $AD$ 扫出空腔内壁）。

退化情形：若 $\square ABCD$ 是矩形（$AD \perp AB$、$BC \perp AB$），则两条斜边与轴垂直， 外接圆锥和空腔都退化成圆面，几何体就是一个圆柱。

习题 8.1 第 10 题

10. 下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.

（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；

(2) 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.

(1) 不正确。 反例：取两个全等的斜三棱柱，让上面的斜三棱柱的底面与下面的斜三棱柱的 顶面完全重合地叠放（两棱柱共用这个三角形面），但两个斜三棱柱的侧棱方向不同（上面的 斜向与下面的斜向不同）。叠成的多面体：最下面的底面与最上面的顶面是两个互相平行且全等的 三角形面；其余 6 个面是两个斜三棱柱的侧面，每个都是平行四边形。但它不是棱柱——棱柱要求 各侧棱都互相平行，而这里下半部分的侧棱是一个方向、上半部分的侧棱是另一个方向， 不都平行。

（反例的关键是两个斜三棱柱的侧棱方向不同：若侧棱方向相同，叠出来就是棱柱。注意两个 底面必须完全重合地叠放，多面体才没有接缝处露出的碎片——真错位反而会让接缝处出现非 平行四边形的面，连题设都不满足。）

(2) 不正确。 反例（教师用书图 (2)）：考虑底面为矩形的情况——取两个全等的矩形，一上一下 平行放置，但上面的矩形相对下面的绕竖直轴旋转 $90°$（长边方向互换：上矩形的长边与下矩形的 短边同向）。这样四个侧面都是梯形：每个侧面由一条下底边、一条上底边和两条侧棱围成，上、下两条 底边分别平行（连接的是下长边对上短边、或下短边对上长边）但不相等，而两条侧棱不平行——是梯形。 但四条侧棱的延长线不交于一点：若交于一点，上底面就应是下底面关于该点的位似像、各对应边 保持同向，而这里上底面转了 $90°$、与下底面不是位似关系。侧棱延长不共点，故它不是棱台 （棱台必须由棱锥用平行于底面的平面截得，侧棱延长线交于一点）。

这道题的关键动作：棱柱、棱台的定义里都有一条”各侧棱（延长线）要协调”的条件—— 棱柱要都平行，棱台要交于一点，这两条单独画出来看就是判断”真柱""真台”的试金石。