8.1 基本立体图形

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浙江 2025 · q09正三棱柱里的线面关系 · 判定定理凑前提，或建系算点积经由正三棱柱

文字转写

奶粉罐

腰鼓

茶叶盒

金字塔

8.1 基本立体图形

在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度，认识几种最基本的空间几何体。

观察

如图8.1-1，这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？

观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识.

在图8.1-1中，可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、金刚石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球

和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（polyhedron）（图 8.1-2）。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面 ABE，面 BAF；两个面的公共边叫做多面

● ●

在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分.

体的棱，如棱 $AE$ ，棱 $EC$ ；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点 $E$ ，顶点 $C$ 。图8.1-1中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状。

图8.1-2

图8.1-3

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体（solid of rotation）。这条定直线叫做旋转体的轴。图8.1-3中的旋转体就是由平面曲线 $OAA'O'$ 绕轴 $OO'$ 旋转形成的。图8.1-1中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状。

下面，我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，进一步认识一些特殊的多面体和旋转体.

1. 棱柱

观察

观察图8.1-4中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？

图8.1-4

可以发现，长方体的每个面都是平行四边形（矩形），并且相对的两个面，如面ABCD和面 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ ，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样.

如图8.1-5，一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）。图8.1-1中的茶叶盒所表示的多面体就是棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

图8.1-5

棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图 8.1-5 中的棱柱记作棱柱 ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

在图8.1-4中的长方体中，侧棱和底面给我们以垂直的形象，如同教室里相邻墙面的交线和地面的关系一样。一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱（图8.1-6(1)(3))，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱（图8.1-6(2)(4))。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱（图8.1-6(3))。底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体（图8.1-6(4))。

图8.1-6

2. 棱锥

像图 8.1-1 中金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点.

如图8.1-7，一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

图8.1-7

棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图8.1-7中的棱锥记作棱锥S-ABCD. 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体. 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.

3. 棱台

如图 8.1-8，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）。图 8.1-1 中的储物箱就给我们以棱台的形象。在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点。

● ●

请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在图8.1-8中标出它们.

图8.1-8

棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图 8.1-8 中的棱台记作棱台 ABCD-A’B’C’D’。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

例 1 将下列各类几何体之间的关系用 Venn 图表示出来:

多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.

解：如图 8.1-9 所示.

图8.1-9

练习

观察图中的物体，说出它们的主要结构特征.

判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画 “×”.

(1) 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. （）

(2) 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体. （）

3. 填空题

(1) 一个几何体由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是 ____。

(2) 一个多面体最少有____个面，此时这个多面体是____.

设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱.

4. 圆柱

如图 8.1-10，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

图8.1-10

在生活中，许多物体和容器都是圆柱形的，如图8.1-1中的奶粉罐。圆柱用表示它的轴的字母表示，如图8.1-10中的圆柱记作圆柱 $O^{\prime}O$ 。

5. 圆锥

与圆柱一样，圆锥也可以看作由平面图形旋转而成的。如图8.1-11，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）。图8.1-1中的铅锤就是圆锥形物体。圆锥也有轴、底面、侧面和母线。

图8.1-11

请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义，并在图8.1-11中标出它们.

圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图 8.1-11 中的圆锥记作圆锥 SO.

6. 圆台

如图 8.1-12，与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（circular truncated cone）。图 8.1-1 中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体。

图8.1-12

与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线（请你在图8.1-12中标出它们）。圆台也用表示它的轴的字母表示，如图8.1-12中的圆台记作圆台 $O^{\prime}O$ 。

探究

圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到。圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？

7. 球

如图8.1-13，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体（spheroid），简称球。半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 球常用表示球心的字母来表示, 如图 8.1-13 中的球记作球 $O$ .

图8.1-13

棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体。其中棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体。

探究

棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥与圆台呢？

8. 简单组合体

现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.

(1)

(2)

(3)

(4)图 8.1-14

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，如图8.1-14（1）（2）中物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图8.1-14(3)(4）中的几何体。现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成。

• •

请你说一说图 8.1-14 中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的.

例 2 如图 8.1-15（1），以直角梯形 ABCD 的下底 AB 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．说出这个几何体的结构特征.

解：几何体如图8.1-15（2）所示，其中 $DE \perp AB$ ，垂足为 $E$

图8.1-15

这个几何体是由圆柱 $BE$ 和圆锥 $AE$ 组合而成的. 其中圆柱 $BE$ 的底面分别是 $\odot B$ 和 $\odot E$ , 侧面是由梯形的上底 $CD$ 绕轴 $AB$ 旋转形成的; 圆锥 $AE$ 的底面是 $\odot E$ , 侧面是由梯形的边 $AD$ 绕轴 $AB$ 旋转而成的.