正方体剖成三个全等棱锥

解题套路

设正方体棱长 $a$，建系让它占据 $[0,a]^{3}$，取顶点

不含 $K$ 的面恰好三个：$x=0$、$y=0$、$z=0$。

1. 三个锥。以这三个面为底、以 $K$ 为公共顶点，各作一个四棱锥，记作 $\Omega_{x},\Omega_{y},\Omega_{z}$ （下标是那张底面所在的坐标平面）。每个锥的底面都是边长 $a$ 的正方形， 顶点 $K$ 到该底面的距离都是 $a$。

2. 它们拼满正方体，且互不重叠。把 $\Omega_{z}$ 写成坐标条件： 底面上的点是 $(u,v,0)$，$K$ 与它连成的线段上的点为

   $$\bigl(a+t(u-a),\;a+t(v-a),\;a-ta\bigr),\qquad t\in[0,1],\ u,v\in[0,a].$$

   第三个坐标 $z=a(1-t)$ 定出 $t=1-\dfrac za$；这时第一个坐标扫过 $[z,a]$，第二个也扫过 $[z,a]$。所以

   $$\Omega_{z}=\{(x,y,z)\in[0,a]^{3}:x\ge z\ \text{且}\ y\ge z\},$$

   即「$z$ 是三个坐标里最小的那一个」。轮换下标同理： $\Omega_{y}$ 是 $y$ 最小的点，$\Omega_{x}$ 是 $x$ 最小的点。 正方体里任一点总有一个最小坐标，所以三个锥盖住了整个正方体； 最小者唯一时只落在一个锥里，重叠只发生在「有两个坐标并列最小」的那几张平面上，不占体积。

3. 它们全等。绕体对角线 $K(a,a,a)$–$O(0,0,0)$ 旋转 $120^{\circ}$，效果是把坐标轮换 $x\to y\to z\to x$。 这个旋转是正方体的对称变换，把 $\Omega_{x}\to\Omega_{y}\to\Omega_{z}\to\Omega_{x}$，所以三者全等。

4. 读出体积。三块全等又拼满，于是

   $$V(\Omega_{z})=\frac13 a^{3}=\frac13\cdot\underbrace{a^{2}}_{\text{底面积}}\cdot\underbrace{a}_{\text{高}} .$$

为什么这一步值钱

• 它把 $\frac13$ 变成看得见的东西。锥体体积公式的 $\frac13$ 在课本里往往是「祖暅原理 + 一个巧妙的剖分」推出来的， 剖分的主角就是这三个锥。记住这张图，公式忘了也能当场重建。
• 它给出一个现成的「标准锥」。底面边长 $a$、高 $a$、体积 $\frac13a^{3}$—— 遇到同底同高的另一个锥（哪怕顶点歪到别处），用祖暅原理一搬就得到同样的体积， 全程不必引用锥体体积公式。
• 三棱锥版本同样好用。把上面的正方体换成「一个顶点出发的三条棱两两垂直」的直三棱柱， 可以剖成三个等体积的三棱锥；这是证明「三棱锥体积 $=\frac13Sh$」的经典第一步。

注意

• 别把三个锥说成「以体对角线为轴切三刀」。切法是「挑一个顶点、剩下三张面各当一次底」， 三个锥共用顶点 $K$ 与三条棱（从 $K$ 出发的那三条），并不是绕轴等分。
• 全等要说清凭什么。凭的是正方体绕体对角线的 $120^{\circ}$ 旋转对称， 不能只说「形状看起来一样」。
• 顶点在底面顶点的正上方，锥是「歪」的。它和「正四棱锥」（顶点在底面中心正上方）不是同一个立体， 只是体积相等。要把结论搬到正的那个上，必须再走一步祖暅原理，不能默认二者相同。