组合体分块后错用总高

错法长什么样

一个常见的组合体：下面一个棱长 $2$ 的正方体，上面顶一个底边 $2$、高 $2$ 的正四棱锥。 三视图的外轮廓高度是 $2+2=4$。分块之后，锥那一块的体积应当是

错法是把外轮廓那个 $4$ 拿来用：

于是总体积从 $8+\frac83=\frac{32}3$ 变成 $8+\frac{16}3=\frac{40}3$——恰好是另一个选项。 选择题的干扰项就是按这条错路配出来的，算出来「正好有」并不能当作检验通过。

为什么容易犯

• 三视图只画外轮廓，标注也常常只标在轮廓上。要把「哪一段属于哪一块」读出来， 必须先认出轮廓上的折点（正方形与三角形的交界线），那条线才是分块的界面。
• 分块之后视线还停在整张图上。写公式时手边只有一个「高」的印象， 而那个印象来自刚才量外轮廓的动作。
• 锥体公式里有 $\frac13$，容易让人觉得「除过了就不会大」。其实高翻一倍，体积就翻一倍，$\frac13$ 拦不住。

怎么防

1. 分块的同时把每块的三个尺寸单独抄一遍。写成「正方体：棱 $2$」「正四棱锥：底 $2\times2$、高 $2$」， 再动笔套公式。抄的时候就会发现总高 $4$ 没有出现在任何一块里。
2. 让每一段高在图上各有名字。在主视图上把 $4$ 拆成 $2+2$ 并分别标注，别只标一个 $4$。
3. 用「谁的顶、谁的底」自查。锥的高是「锥顶到锥底面」的距离，不是「锥顶到整个立体底面」的距离； 后者要减去底下那块柱体的高。
4. 算完看量级。锥与同底同高的柱体积比是 $1:3$。若算出来的锥体积超过了它上方那段外轮廓所能容纳的柱体积，说明高取大了。