浙江 2009 · 数学 q12

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2009 · 数学 q12 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

  1. （2009 浙江理 12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ____ cm3\mathrm{cm}^{3}.

（三视图内容：正视图是一个「T」字形——上边一条横板，宽 1+1+1=31+1+1=3、高 11；下边一根竖柱，宽 11、高 33，柱子居中。侧视图是一个矩形，宽 33、高 44，离顶 11 处有一条横线把它分成上下两块。俯视图是一个边长 33 的正方形，中间用两条竖虚线标出被挡住的那根宽 11 的柱子。）

答案

18

本题的知识树

1 概念 · 1 公式 · 1 题型 · 3 套路 · 2 易错点 · 最深 2 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

三视图还原组合体求体积 · 分层切三张图 / 补成长方体再挖 / 按俯视图分条各乘各的高 · 最终答案：18

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的组合体：下块 1×3×3=91 \times 3 \times 3 = 9（居中的柱子）· 上块 3×3×1=93 \times 3 \times 1 = 9 · 相加 V=18V = 18 立方厘米·转到「正对正视面」就是卷面那张 T 形正视图，转到「俯视」就是那张正方形俯视图

机位自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：三张图给的不是三个数，是三个方向的尺寸

一个立体在空间里有三个方向——左右、前后、上下。三张视图的分工是：

视图画的是哪两个方向
俯视图左右 × 前后
正视图左右 × 上下
侧视图前后 × 上下

每个方向都被量了两次，这就是「长对正、高平齐、宽相等」。本题三张图分别说：

  • 俯视图是边长 33 的正方形 → 左右 33、前后 33；
  • 正视图是 T 形（上边宽 33 高 11，下边宽 11 高 33，居中）→ 上下方向总共 1+3=41+3=4，而且上下两段的左右尺寸不一样：上段通长 33，下段只剩 11；
  • 侧视图是宽 33、高 44 的一整块矩形（离顶 11 处有一条横线）→ 上下两段的前后尺寸一样，都通到底，都是 33。

立体就此被钉死：上面一块 3(左右)×3(前后)×1(上下)3(\text{左右})\times 3(\text{前后})\times 1(\text{上下}) 的板，压在下面一堵 1×3×31\times 3\times 3 的墙上，墙在左右方向居中。

侧视图是这道题唯一真正出力的那张图。 只给正视图与俯视图的话，下面那堵墙的前后深度是量不出来的——正视图把前后压没了，俯视图的那两条虚线只说墙在左右方向宽 11、居中，没说它前后多深。正因为侧视图整块是矩形、腰上没有缺口，才知道墙与板一样深，深 33。

把侧视图换成 T 形（上边宽 33 高 11、下边宽 11 高 33）试试：下面那块立刻变成 1×1×31\times 1\times 3 的细柱，体积变成 9+3=129+3=12。同一张正视图、同一个「T」，答案能差 66。

俯视图里那两条竖虚线在说同一件事的另一半：它们是墙的两条竖棱被上面的板挡住之后画成的虚线，位置离左右两边各 11——墙宽 11，居中。

一幅单栏的教学图，并排画着三幅平面视图，标题「三幅视图拼出三个方向的尺寸：左右 3、前后 3、上下 3+1」。左边是正视图：一个深蓝描边、浅蓝填充的 T 字形——上边一条宽 3、高 1 的横板，下边一根宽 1、高 3 的竖柱且左右居中，T 形内部没有任何线；横板上方有一个标着 3 的双向箭头，竖柱下方有一个标着 1 的双向箭头，形内分别标着「高 1」与「高 3」；底下的图注是「正视图（左右×上下）」。中间是侧视图：一个宽 3、高 4 的矩形，离顶 1 处有一条与外轮廓同粗的水平实线把它分成上下两块，上方有标着 3 的双向箭头，形内标着「总高 4」；图注「侧视图（前后×上下）」。右边是俯视图：一个边长 3 的正方形，内部两条竖直虚线把它分成三条等宽的竖条，上方有标着 3 的双向箭头，中间那条竖条下方有标着 1 的双向箭头；图注「俯视图（左右×前后）」。整幅图只有这三幅视图，不含任何算式清单。

解法一：沿「高平齐」那条线把三张图一起切成上下两段

① 找那条切线。 正视图上横板与竖柱的交界、侧视图上离顶 11 的那条横线，高度相同——这就是「高平齐」，沿它把三张图一起切开。

② 上段（离顶那 11 的一层）。 三张小图分别是：正视图宽 33 高 11 的矩形、侧视图宽 33 高 11 的矩形、俯视图整个 3×33\times 3 的正方形。三张全是矩形 → 一个长方体，尺寸 3×3×13\times 3\times 1。

③ 下段（底下那 33 的一层）。 正视图宽 11 高 33 的矩形、侧视图宽 33 高 33 的矩形、俯视图是中间那条 1×31\times 3 的竖条。也是长方体，尺寸 1×3×31\times 3\times 3。

④ 各套一次 V=ShV=Sh。

V板=3×3×1=9,V墙=1×3×3=9.V_{\text{板}}=3\times 3\times 1=9, \qquad V_{\text{墙}}=1\times 3\times 3=9 .

墙的高是 33 不是 44。44 是外轮廓的总高，它不属于任何一块——这一层与那一层各占各的，别把总高代进单块的公式。

⑤ 相加。

V=9+9=18.V=9+9=18 .

⑥ 回验（这一步别省）。 把两块按原位叠起来，重新投影一遍：

  • 正视图：上段通长 33、下段只有中间 11 → T 形 ✓
  • 侧视图：两块前后都是 33，上下接在一起 → 一整块 3×43\times 4 的矩形 ✓
  • 俯视图：上段的投影是整个 3×33\times 3，下段的投影是中间那条，被板挡住画成虚线 → 正方形加两条竖虚线 ✓

三张都对上了，还原没错。

答案 1818。 官方解析写的也是这条路：「下面体积为 1×3×3=91\times 3\times 3=9，上面的长方体体积为 3×3×1=93\times 3\times 1=9」。

解法二：先补成一个规整的长方体，再把空缺挖掉

① 补。 三个方向的尺寸各取最大值：左右 33、前后 33、上下 44。所以整个立体正好装进一个 3×3×43\times 3\times 4 的长方体，且六个面都贴到了（这就是外接长方体）：

V外接=3×3×4=36.V_{\text{外接}}=3\times 3\times 4=36 .

② 数空缺。 从上往下看这个 3×3×43\times 3\times 4 的盒子：

  • 顶上那 11 的一层是满的，一点不缺；
  • 底下那 33 的一层只有中间宽 11 的部分有料，左右各空着一块，尺寸 1(左右)×3(前后)×3(上下)1(\text{左右})\times 3(\text{前后})\times 3(\text{上下})。

③ 减。

V=36−2×(1×3×3)=36−18=18.V=36-2\times(1\times 3\times 3)=36-18=18 .

④ 一个好玩的巧合。 挖掉的 1818 与剩下的 1818 一样多——这个立体正好是它外接长方体的一半。

这条路全程只算长方体，连「哪一块的高是多少」都不用想：空缺的三个尺寸直接从视图的空白处读。它的前提只有一条——补出来的确实是个长方体，也就是三个方向的尺寸能各自取到最大值。本题的正视图、侧视图都是由水平线与竖直线围成的，这一条自动成立；若轮廓上出现斜线，补出来的就不是长方体，这条路要改写。

解法三：按俯视图分成三条，每条乘自己头顶那段高

这个立体有个好性质：处处直上直下——在俯视图上任取一点，沿竖直方向穿下去，穿到的料是连着的一段。于是体积可以按俯视图分区来算：

V=∑iSihi,Si=俯视图上第 i 块的面积,hi=这块头顶的料厚.V=\sum_i S_i h_i, \qquad S_i=\text{俯视图上第 } i \text{ 块的面积},\quad h_i=\text{这块头顶的料厚} .

① 划区。 俯视图那两条竖虚线把 3×33\times 3 的正方形分成三条 1×31\times 3 的竖条，面积各是 33。

② 左条。 只有上面那块板盖着 → 料厚 h=1h=1，贡献 3×1=33\times 1=3。

③ 中条。 板与墙都在，而且上下贴在一起 → 料厚 h=1+3=4h=1+3=4，贡献 3×4=123\times 4=12。

④ 右条。 与左条对称 → 贡献 33。

⑤ 相加。

V=3+12+3=18.V=3+12+3=18 .

⑥ 自检两条。 三块面积相加 3+3+3=93+3+3=9，正是俯视图的总面积（不重不漏）✓；三块料厚的最大值 44，正是外轮廓的总高 ✓。

中间那条的料厚恰好等于总高 44，不是巧合，但也不是规律。 只有当某条竖线从底通到顶都是实的，料厚才等于总高；本题左右两条的料厚就只有 11。分块之后，每块的高必须各读各的——顺手把外轮廓的 44 套到三条上，会算出 3×4×3=363\times 4\times 3=36，也就是那个外接长方体，整整多了一倍。

三条路各走各的，落在同一个数：1818。

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