按俯视图分区乘各自的高

解题套路

1. 确认「直上直下」。 从上往下看，立体的每一处都是竖直的柱（侧面全是竖直面，没有斜面、没有悬空）。三视图上的信号是：正视图与侧视图的每条边要么水平要么竖直，没有斜线、没有弧。
2. 在俯视图上划区。 把俯视图按「这一块头顶有多厚」分成几块——分界线就是正视图 / 侧视图上那些竖直边投下来的位置，在俯视图上常画成虚线。
3. 每块量两个数：面积 $S_i$ 从俯视图读，料厚 $h_i$ 从正视图或侧视图上这一块对应的那一段读。
4. 相加：

5. 回验：$\sum_i S_i$ 必须等于俯视图的总面积（不重不漏），且 $\max_i h_i$ 必须等于外轮廓的总高。

凭什么成立

体积可以按竖直方向先积分：过俯视图上一点 $(x,y)$ 作竖直线，它与立体相交的那部分总长记作 $h(x,y)$（这就是「料厚」），则

「直上直下」意味着 $h(x,y)$ 在每个分区上是常数，积分就退化成有限求和 $\sum S_i h_i$。每一块 $S_ih_i$ 本身就是一个直棱柱的体积 $V=Sh$——所以这条路从头到尾只用柱体公式，一次锥体、台体都不必碰。

它与「分层」是同一件事的两种切法。 分层是横着切（按高度分段），本套路是竖着切（按俯视图分区）。哪种切出来的块少就用哪种：轮廓在竖直方向变化多的（叠了好几层）适合竖着切，水平方向摆了好几摊的适合横着切。

什么时候想到它

• 正视图、侧视图全由水平线与竖直线围成（L 形、T 形、凸字形、阶梯形），一眼看不出是哪几个基本体拼的；
• 俯视图上有内部的实线或虚线把它分成了几块——那几条线常常就是现成的分区线；
• 要算的是体积而不是表面积（表面积不能这么拆，拼接面会被算重）。

边界

• 有斜面或曲面就不适用。 $h(x,y)$ 不再分块常值，求和会变成误差不明的估计。正视图上出现斜线（棱锥、棱台）或圆弧（球、圆锥）时改走分层或补形。
• 「料厚」不等于「顶到底的高」。 立体中间挖空时（例如上下两块之间隔着一段空气），同一条竖线上的料是两段，料厚要把两段相加，而不是取上顶到下底的距离。
• 每块的高各读各的。 最容易出错的一步是把外轮廓的总高套到每一块上；只有从底通到顶都是实的那一块，料厚才等于总高。