棱台

教材原文

如图 8.1-8，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）。图 8.1-1 中的储物箱就给我们以棱台的形象。在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点。

棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图 8.1-8 中的棱台记作棱台 ABCD-A’B’C’D’。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

定义

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的那部分多面体叫做棱台； 原棱锥的底面、截面分别是它的下底面、上底面。由三棱锥截得的叫三棱台，记作棱台 $DEF\text{-}ABC$ （前一组字母是上底面，后一组是下底面，对应位置的字母是同一条侧棱的两端）。

要点

• 两条与解题直接挂钩的性质，都是「截面平行于底面」这一句的直接后果：
  • 上下底面平行；
  • 每个侧面都是梯形，且上底边与它对应的下底边平行—— 棱台 $DEF\text{-}ABC$ 中 $EF\parallel BC$、$DF\parallel AC$、$DE\parallel AB$。 理由是面面平行的性质定理：侧面是与两个平行底面都相交的第三个平面，两条交线必平行。
• 于是棱台题里的上底面常常是纸老虎：凡是要证上底面某条棱与别的线垂直、 或要算它与某个平面所成的角，先用上面那条平行把它换成下底面对应的棱， 问题立刻塌回一个棱锥（甚至一个四面体）里去做。
• 侧棱延长后必交于一点（就是原棱锥的顶点）；由此上下底面相似， 相似比等于截得的位置。这条是求棱台体积、表面积时补形还原成棱锥的依据。
• 别与棱柱混：棱柱的上下底面全等、侧棱平行；棱台的上下底面只相似、侧棱延长交于一点。 「正棱台」还要额外要求底面是正多边形且上下底面中心连线垂直于底面。