浙江 2011 · 数学 q03

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三视图还原出的组合体（尺寸为示意，卷面没给数）：上部件 正视图=三角形、侧视图=矩形、俯视图=矩形（三棱柱）· 下部件 正视图=矩形、侧视图=矩形、俯视图=矩形（四棱柱）· 三角形只在一张视图里露脸 ⟹ 那是柱不是锥，官方答案 D

机位1题图角度2正对 三角形截面3沿 三角形截面 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：先说清哪一半的已知丢了，本篇又能推到哪儿

这道题的已知缺了一块，不交代就没法往下写。 题面说「若某几何体的三视图如图所示」，可那三张视图是图，而本站两份截图（q03.png、q03-stem.png）都从题干那一行往下裁，三视图正好落在裁切线之上，一张都没进来。证据留在 q03.png 的右上角：那里还剩三视图的最后一点——一条被切掉大半的横边（被一条竖线分成两格）加上「俯视图」三个字。（已记为 issue #545。）

四个选项倒是在的。 扫描件上四张直观图印得清清楚楚（还印了两遍，页面上半一遍、下半一遍），只是转写里只剩 A、 B、 C、 D、 四个空标签。所以本篇最后一步不是抄答案，是回头看那四张图。

中间这一段的前提，只能从「解析」里借。 原卷解析把那三张视图的内容说出来了：

由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱； 下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱。

这句话是答案侧的东西，本篇拿它当前提，是因为题面那张图不在——必须明说，不能装作它是题面给的。 本篇的推理从这句出发，终点是：

这个几何体是：下面一层四棱柱（三张视图全是矩形，也就是长方体），上面驮一个三棱柱。

推到这里还差半步，这半步得单说。 「上部分有两个矩形，一个三角形」只说了三角形在某一张视图里，没说是哪一张——而正是那张视图定死了三棱柱的柱轴朝哪：

三种摆法投出来的形状清单一模一样（都是一个三角形加两个矩形），所以那句话分不开它们。这半步由选项图补上：扫描件上第四张（D）画的是——下面一个扁长方体，左端顶上驮着一个三棱柱，三棱柱的三角形截面正对读者、沿进深方向平移出去。这正是上面推出来的那一类，而且把朝向定成了「三角形落在正视图」那一种。故选 D。

（A、B、C 三张画的各是什么，扫描件的分辨率有限，本篇不逐张断言；看得清的一条是 B 的上块是一片竖直的长方体板而不是三棱柱——它的三张视图会是三个矩形，没有三角形。读者对着 q03.png 自己核一眼最稳。）

先把整道题要用的那张对照表摆出来（原卷「分析」段就是这么起手的）：

三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体。

这张表平时是当口诀背的，但它有一个正向和一个反向，两者的地位差得很远：正向（给了立体，算它的三张投影）是能证的定理；反向（给了三张投影的形状，反推立体）不是定理，只是在「候选都是常见基本体、都按常规姿势摆着」这个前提下才成立的候选生成器。解法一会把正向证出来，也会给一个反向失效的反例。

读题：三视图怎么分层——正视图、侧视图能一刀切开，俯视图不能

这一节不推结论，只把已知读清楚。 冷启动借来的那两句话本身就是分层给的（说的是「上部分……」「下部分……」，不是「这个几何体……」），所以「这是个上下两层的组合体」不是推出来的，是已知的一部分。要用它，得先弄明白：三张视图上，哪一张能沿分界线切开，哪一张不能。

为什么可以拆。 正投影是逐点做的：几何体上任何一点投到哪儿，只由它自己的坐标决定，与别的点在不在无关。把几何体拆成上下两块 $U$ 与 $L$（分界高度 $z=h$），则对三个投影方向中的每一个都有

$$\operatorname{proj}(U\cup L)=\operatorname{proj}(U)\ \cup\ \operatorname{proj}(L).$$

这是恒等式，三张视图都成立。但「投影取并」和「图能一刀切开」是两回事，必须分开说：

• 正视图与侧视图沿水平方向投影，$z$ 原样保留。 $U$ 整块落在 $z\geq h$、$L$ 整块落在 $z\leq h$，所以两者的像在图上分居那条分界线的两侧，一刀切开，上半就是 $\operatorname{proj}(U)$、下半就是 $\operatorname{proj}(L)$。
• 俯视图沿 $z$ 投影，$z$ 被丢掉了。 $U$ 与 $L$ 的像落在同一张水平图上、互相叠着，俯视图里根本没有那条分界线，也切不开。上段的俯视图在图上表现为外轮廓内部的那条线围出来的一块——它得单独读，不是切出来的。

所以准确的说法是：分层靠的是正视图与侧视图上那条对得齐的横线，它们各切出两段；每段的第三张脸（俯视图）另从内部线读。原卷那句「上部分有两个矩形，一个三角形」，说的正是这么读出来的三张。

下段的三张脸从哪儿来。 正视图与侧视图沿分界线切开，下半那两张就是下段的；俯视图的外轮廓就是下段的俯视图（上段的投影落在它内部，那条内部线围出的才是上段的）。三张凑齐：三个矩形。

解法一：按类排除——锥要两个三角形、台要两个梯形，都对不上，只剩柱

怎么想到的。 冷启动摆出的那张对照表，平时是当口诀背的。这条路不背它，把它拆开：它的正向是三条能证的命题，证完了表就不用背了；而反着读为什么也敢用、什么时候不敢，也一并清楚了。整道题的推理只需要这三条命题加一次逐类排除，不需要任何别的现成结论。

先约定清楚在说什么。 「投影」指的是立体在那个方向上的影子（一个点集）；对凸多面体，影子就是各顶点投影的凸包。「常规摆放」对三类各有各的意思，得分开说：柱要求是直柱体、且柱轴沿某个投影方向（横截面 $S$ 因此正对着另一个投影方向，不必「底面水平」——本题上段那个三角形正对读者的三棱柱正是这一种）；锥与台要求底面水平（放在 $z=0$ 上）。下面三条命题，只在这个范围内成立——范围一破就有反例，这一节末尾给一个。

命题一（柱）。 直柱体是一个平面图形 $S$ 沿垂直于它的方向平移出来的。设平移方向是 $y$，立体就是 $S\times[0,b]$，$S$ 躺在 $xz$ 平面里。那么

• 丢 $y$：影子就是 $S$ 本身（$S$ 若不是凸的，这张视图的轮廓也就不是凸的，仍是 $S$）；
• 丢 $x$：得到 $\pi_z(S)\times[0,b]$，其中 $\pi_z(S)$ 是 $S$ 在竖直方向占的那段区间——两个区间的乘积，是矩形；
• 丢 $z$：同理得 $\pi_x(S)\times[0,b]$，也是矩形。

于是：直柱体给出「$S$ 本身 $+$ 两个矩形」，且 $S$ 的边数就是 $N$。「两个矩形」这三个字，说的正是「沿这两个方向看过去粗细从头到尾不变」——这就是柱的定义念出来的样子。（斜棱柱不在此列：平移方向不垂直于 $S$ 时，沿平移方向看到的那张不再是 $S$，「$S$ $+$ 两个矩形」这个签名就破了——至于另两张具体变成什么，看剪切往哪个方向偏，不一定都是平行四边形，但本题用不到。）

命题二（锥）。 底面多边形 $B$ 在 $z=0$，顶点 $P=(p,q,h)$，$h>0$。丢 $y$：底面上所有点都落到 $z=0$ 那条水平线上，占一段区间 $[\alpha,\beta]$；顶点落到 $(p,h)$。影子就是以 $(\alpha,0)$、$(\beta,0)$、$(p,h)$ 为顶点的三角形。丢 $x$ 同理。于是：锥体给出至少两个三角形（正视图与侧视图）。

（俯视图不一定是三角形——这一点常被口诀带偏。丢 $z$ 得到的是 $B$ 与 $P$ 的水平投影一起的影子；顶点落在底面内部时，那就是 $B$ 本身。四棱锥的俯视图是个四边形，不是三角形。）

命题三（台）。 下底 $B_1$ 在 $z=0$、上底 $B_2$ 在 $z=h$ 且比 $B_1$ 小。丢 $y$：下底投成一条长线段、上底投成一条短线段，两条平行且不等长，影子是梯形。丢 $x$ 同理。于是：台体给出至少两个梯形。

三条并排一看，反着读为什么敢用就清楚了：

$$\text{锥}\to\text{两个三角形},\qquad \text{台}\to\text{两个梯形},\qquad \text{柱}\to\text{两个矩形}.$$

三个「像」互不相同，所以只要那个立体确实落在「锥 / 台 / 直柱 $+$ 常规摆放」这张候选表里，看见哪一种成对出现，就能倒推回是哪一类。这就是那张对照表——它不是凭空的口诀，是三条命题的逆用。

候选表这个前提不能省，省了就是假的。 举个反例：正方体 $[0,1]^3$ 的四个交错顶点

$$(0,0,0),\quad (1,1,0),\quad (1,0,1),\quad (0,1,1)$$

围成一个正四面体。它的三张视图——丢 $z$、丢 $y$、丢 $x$ 各算一次——全是边长 $1$ 的正方形。可它是个三棱锥，一点也不像长方体。所以「三张视图都是矩形 $\Rightarrow$ 长方体」不是定理；它在考场上管用，靠的是「四个选项都是常见基本体、都按常规姿势摆着」这个题设。（这个反例的三次投影，脚本里也现算过。）

回到本题。 整个几何体是两个柱拼起来的，它本身不在候选表里——所以不能整体套表。必须先分层（上一节：正视图与侧视图沿分界线切开，俯视图另读），分完，每一段单独是一个基本体，这才落回表内。然后逐类排除：

• 上段是「一个三角形 $+$ 两个矩形」。要判成锥，得有两个三角形（命题二），只有一个，排除；要判成台，得有两个梯形（命题三），一个都没有，排除；剩下柱（命题一），$S$ 就是那个三角形，$3$ 条边，故是三棱柱。
• 下段是「三个矩形」。同理排除锥与台，是柱；三张全是矩形，所以无论把哪一张当成横截面 $S$，$S$ 都是四边形，$4$ 条边，故是四棱柱（「剩下那张」在这里不唯一，但三种取法给出的 $N$ 都是 $4$，结论不受影响）。

（顺带更正原卷一处笔误：「点评」把台那一行写成「有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为 $N$ 棱柱」，应作 $N$ 棱台——同一段的「分析」写的是「有两个梯形即为台体」，讲旋转体那几句也一律把「两个梯形」归到台，前后自相矛盾。校订层照留原文，此处指出。）

推到这里，本条路走完了：这个几何体是「下面一个四棱柱，上面驮一个三棱柱」。

最后一步不是推理，是读图。 柱轴朝哪，已知里没有（冷启动那张三行表列了三种可能），所以落到字母上靠的是回头看卷面那四张选项图——扫描件上第四张画的正是「扁长方体 $+$ 左端驮一个三角形截面正对读者的三棱柱」。选 D。这一步是观察，不是从上面的命题推出来的，本篇不把它算进论证。

回验：把还原出来的立体摆出来，投影回去，三张脸逐张对

这一节不是第二条解法，是给上面那条结论做的一次体检。 上面走的是「视图 $\to$ 立体」；这里反着走一遍：把结论里那个立体摆出来，把它的三张视图真算一遍，再回头对。这个方向不需要任何对照表——正投影是有定义的运算，算得出来，每一步都能查。它能证的只有「这个立体确实会投出那组视图」，证不了「只有它会」（那要看卷面那三张原图，而原图缺失），所以它只配当回验，不配当解法。

摆坐标。 取 $x$ 向右（长）、$y$ 向后（进深）、$z$ 向上（高）：

• 下段：长方体 $[0,a]\times[0,b]\times[0,h]$；
• 上段：一个三棱柱，横截面是 $xz$ 平面里的三角形 $T$（坐落在 $z=h$ 那个面上、只占左边一段 $[0,c]$，$c<a$），沿 $y$ 方向从 $0$ 平移到 $b$。

$a,b,h,c$ 与三角形 $T$ 的具体形状一个都不重要，下面三次投影用不到它们的数值。

投三次。 正投影就是「丢掉一个坐标」：正视图丢 $y$、侧视图丢 $x$、俯视图丢 $z$。

逐格核一下这张表怎么来的。 上段是「$T$ 沿 $y$ 平移 $b$」这件事，把三格都定死了：

• 丢 $y$：平移方向被丢掉，剩下的就是 $T$ 本身——三角形；
• 丢 $x$：剩下 $(y,z)$。$y$ 跑遍 $[0,b]$，$z$ 跑遍 $T$ 在竖直方向的范围 $[h,h+h']$（$h'$ 是 $T$ 的高），而且这两件事互不牵连（$T$ 平移时形状不变），所以投影是整块矩形 $[0,b]\times[h,h+h']$；
• 丢 $z$：同理得 $[0,c]\times[0,b]$，其中 $[0,c]$ 是 $T$ 在水平方向的范围。

后两格之所以是矩形而不是别的形状，根子就在「沿 $y$ 平移、粗细不变」这一句——这正是柱与锥的分水岭，上一节已经把它写成了命题一。注意俯视图那一格：下段投出整块 $[0,a]\times[0,b]$，上段投出它左边的一条 $[0,c]\times[0,b]$，两者叠在一起——所以俯视图上看到的是一个大矩形加一条内部线，上段的那一格是从这条线读出来的，不是切出来的（读题那一节说的就是这件事）。

回对。 把表竖着念：

• 上段在三张视图里给出 一个三角形 $+$ 两个矩形；
• 下段给出 三个矩形。

两行与解析那两句逐字相符。这一步能证的、不能证的，得分清：能证的是「这个候选立体确实会投出解析描述的那组视图」；不能证的是「只有它会」——那要看卷面那三张原图，而原图缺失（见冷启动）。

别拿「长对正、高平齐、宽相等」当兜底——它兜不住。 这三条对任何一个立体的三张正投影都自动成立：正视图与俯视图上的横坐标本来就是同一个 $x$，正视图与侧视图上的竖坐标本来就是同一个 $z$，侧视图的横向与俯视图的纵向本来就是同一个 $y$。恒真的检查一点信息都没有，它查的是「三张图在纸上有没有摆错位、读错行」，不是「还原得对不对」。

真正有分辨力的一步，是把别的候选也投一遍。 按常规姿势摆（底面水平、柱轴沿某个投影方向），各投三次：

四行的形状清单两两不同，而解析描述的是「一个三角形 $+$ 两个矩形」——四行里只有末一行对得上。（这张表不是抄来的：q03-figure.py 里把这四个立体各摆了一组顶点，凸包投影现算，算不出这四行就报错。这四行不是穷尽——它只说明常见基本体里能给出这组形状的就是三棱柱。）

这张表把上段钉死在「三棱柱」上。 四行两两不同，而已知给的是「一个三角形 $+$ 两个矩形」——常见基本体里只有三棱柱给得出。下段的「三个矩形」同理只剩长方体那一行（锥要两个三角形、台要两个梯形，都不在）。所以回验的结果与上面那条解法完全一致：下四棱柱 $+$ 上三棱柱。

它同样定不了柱轴朝哪。 把末一行的三棱柱换成「三角形朝右」或「三棱柱竖着立」，投出来的形状清单还是一个三角形加两个矩形，只是三角形换了一张视图落脚。回代能坐实「上段是三棱柱」，坐实不了朝向——那条信息在已知里就没有。

为什么本篇只有一条解法

三视图题通常能摆出好几条路：反着读对照表、逐个候选投影回验、按类排除……这道题只写了一条，是因为已知缺了一块。

卷面那三张视图没进扫描件（issue #545），本篇中间那段「上部分有两个矩形，一个三角形」只能从原卷解析里借。借来的前提对三条路是同一个：谁也不比谁更接近题面。于是「反着读对照表」与「投影回验」这两条，扒掉外壳之后，做的都是同一件事——拿借来的读数去印证一个借来的结论，它们不是三条独立的证明，是同一条证明的三种叙述。

所以本篇只留了信息量最大的那一条：把对照表的正向证成三条命题，再逐类排除。 它的好处是——

• 每一步都能自己查：三条命题各有两行证明，不依赖任何口诀；
• 它自己划出了适用边界：候选表这个前提写在明面上，还配了一个正四面体的反例说明反着读什么时候会塌；
• 借来的那部分被压到最小：只借「每段三张视图各是什么形状」这一句读数，别的一律现推。

另外两条的可用部分没有丢：分层怎么读，提到了上面「读题」那一节；投影回验，放在解法后面当体检。图一旦补齐（#545 解决之后），这两节都能升格成独立解法——那时它们的输入就来自题面，而不是解析。

易错

其一，看见三角形就写「锥」。 这是本题真正的坑。判据不是「有没有三角形」，是「三角形出现在几张视图里」：按常规姿势摆着时，锥的正视图与侧视图都是三角形（解法一命题二）；只有一张是三角形、另两张是矩形，那是横放的棱柱。本题上段正是这一种。

其二，以为俯视图也能一刀切开。 分层靠的是正视图与侧视图——它们保住了高度，上下两段的像分居分界线两侧。俯视图沿高度方向投影，两段的像完全叠在一起，图上没有那条线；上段的俯视图要从外轮廓内部的那条线读出来。把「三张图一起切」当成理所当然，第三张脸就成了凭空的。

其三，认出了类，就以为做完了。 「两个矩形加一个三角形」没说三角形在哪一张视图里，而那正是柱轴的朝向。三种摆法（三角形分别落在正视图 / 侧视图 / 俯视图）给出的形状清单完全一样，选项之间的差别往往就藏在这儿。看图时要专门盯一眼：那个三角形是从哪个方向看到的。

其四，组合体不分层，整体去套表。 整个立体是两个柱拼起来的，它不在「锥 / 台 / 柱」这张候选表里，硬套哪一条都不像。对照表只对单个基本体有效；组合体必须先分层，分完每段才落回表内。

其五，$N$ 数错。 $N$ 由「另外那张视图」的边数定，不是由三角形的个数、也不是由矩形的个数定。上段那张三角形有 $3$ 条边，故是三棱柱；下段剩下那张矩形有 $4$ 条边，故是四棱柱。

其六，把梯形看成三角形。 这两者在视图上只差一条短横线，可结论要从「柱 / 锥」跳到「台」。原卷「点评」自己在这一条上写错了一个字（见解法一），可见它有多容易错。