棱柱错认成棱锥

易错点

看到视图里有三角形就写「棱锥」，是这一类题最常见的一次误判。判据不是「有没有三角形」，是「三角形出现在几张视图里」。

下面这张表说的是常规摆放下的情形——底面水平、柱轴沿某个投影方向。考题里的立体都是这么摆的，但这个前提是表能反着读的全部依据，不能省（见末节）。

一眼分辨的办法

问一句：沿这个方向看过去，粗细变不变？

• 柱没有尖，它是一个平面图形沿一个方向平移出来的。沿平移方向看是那个平面图形本身，垂直于平移方向的两个方向看，都是矩形（矩形的高就是柱高，宽就是截面在该方向上的宽度，与走到哪儿无关）。
• 锥有一个顶点，而且底面是水平的，所以正视图与侧视图一定是三角形：底面上所有点都压到同一条水平线上、占一段区间，顶点单独落在上方，凸包就是个三角形。两个方向都收尖，柱做不到。

所以「两个矩形」这三个字，说的正是「沿某个方向粗细不变」——这恰恰是柱的定义，也正是锥做不到的事。

注意别把「收尖」说过头：锥的俯视图未必是三角形。顶点落在底面内部时，从上往下看的轮廓就是底面本身——四棱锥的俯视图是个四边形。所以判据只能落在「正、侧两张都是三角形」上。

常一起犯的两处

• 把「横放的三棱柱」看成「三棱锥」。 屋脊形的那块（正视图是三角形、侧视图与俯视图都是矩形）是三棱柱，不是三棱锥。底面水平摆着的三棱锥，三张视图全是三角形。
• 把「梯形」漏看成「三角形」。 梯形是台体（上底没缩成点），少画一条短横线就变成三角形、结论就从台变成锥。见易错点《台体套成锥体》。

这条判据反过来用，前提是「常规摆放」

上面三条讲的都是正向：给了立体，算它的三张投影。反着用（看见形状反推立体）只在「立体是常见基本体、且按常规姿势摆着」时才成立，而考题的选项恰好保证了这一点。

前提去掉就不成立了。正方体 $[0,1]^3$ 的四个交错顶点

围成一个正四面体——它是个三棱锥，可它三张视图全是边长 $1$ 的正方形，一个三角形都没有。原因就是它没有一个面水平摆着。所以「有几个三角形」这套判据，量的从来不是立体本身，而是立体加上它的摆法。