由三视图还原直观图

题型说明

• 常见问法：「若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　）」，四个选项是四张立体图。
• 给什么：三张视图（往往连尺寸都不标）。
• 要什么：一个形状，不是一个数——所以整道题不必算，只需把「视图里出现的平面图形」翻译回「立体」。

它与「三视图还原求体积 / 求表面积」的分野

认形状是两类题共同的第一步，只不过这一类到此为止。

三步

1. 看有没有横向的分界线。 三张视图里若都出现一条横线把图分成上下两段，且三张的分界高度对得上（「高平齐」），那这个几何体是上下两层的组合体——先切开，分别认。
2. 每一层各数一次「三张视图各是什么平面图形」。 三个三角形 $\Rightarrow$ 三棱锥；两个三角形 $+$ 一个多边形 $\Rightarrow$ $N$ 棱锥；两个矩形 $+$ 一个多边形 $\Rightarrow$ $N$ 棱柱；两个梯形 $+$ 一个多边形 $\Rightarrow$ $N$ 棱台。$N$ 由另外那张视图的边数定。
3. 把各层拼回去，再把拼出来的立体投影一遍，与卷面三张图逐张比形状。

回验要验什么——别拿三条投影规律凑数

「长对正、高平齐、宽相等」对任何一个立体的三张正投影都自动成立（正视图与俯视图上的横坐标本来就是同一个 $x$，正视图与侧视图上的竖坐标本来就是同一个 $z$，侧视图的横向与俯视图的纵向本来就是同一个 $y$）。恒真的检查没有分辨力，它查的是「三张图在纸上有没有摆错位、读错行」，不是「还原得对不对」。

有分辨力的回验只有一种：把候选立体的三张投影算出来，与卷面那三张逐张比形状、比内部的线；有余力就把另外三个选项也投一遍，看它们确实给不出这组图。

为什么「两个矩形」这么好用

某个方向的正投影是矩形，说的是「沿这个方向看过去，上下轮廓是两条水平线、左右轮廓是两条竖线」，也就是粗细从头到尾不变——这正是柱的定义。反过来，底面水平的锥，正视图与侧视图都是三角形；底面水平的台，正视图与侧视图都是梯形。三类的「像」两两不同，所以看见哪一种成对出现，就能倒推是哪一类。第三张视图这时不再决定是不是柱，只决定是几棱柱：它画的就是柱的底面。

但这只在「立体是常见基本体、且按常规姿势摆着」时才成立。 正方体 $[0,1]^3$ 的四个交错顶点 $(0,0,0)$、$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ 围成的正四面体，三张视图全是正方形，可它是个三棱锥——它没有一个面水平摆着。选择题里之所以敢反着读，靠的是四个选项本身把候选限死了。

常见陷阱

• 三角形露一次是柱，露两次才是锥。 一张视图是三角形不能直接下「锥」的结论——三棱柱侧着看也是矩形、正面看才是三角形。见易错点《棱柱错认成棱锥》。
• 组合体不分层，整体去套对照表。 上下两段各自是基本体，合起来往往哪一条都不像；对照表只对单个基本体有效。
• 只对了两张视图就下结论。 三张必须一起对——尤其是那张决定 $N$ 的。
• 认出了类，就以为做完了。 「两个矩形 $+$ 一个三角形」只说三角形在某一张视图里，没说是哪一张——而那张视图定死了柱轴的朝向（三角形在正视图，脊线指向纸内；在侧视图，指向纸右；在俯视图，柱是竖着立的）。三种摆法的形状清单一模一样，选项之间的差别往往正在这儿。