浙江 2010 · 数学 q12

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的组合体：长方体 $4 \times 4 \times 2 = 32$ 坐在四棱台（下底 $8 \times 8$、上底 $4 \times 4$、高 $3$，$V = \frac{3}{3}\left(16 + 32 + 64\right) = 112$）上·相加 $V = 144$ 立方厘米

机位1题图角度2正对 下底面（$8 \times 8$，面积 $64$）3沿 下底面（$8 \times 8$，面积 $64$） 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：先把立体还原出来，算只是最后一步

这道题的难点不在算，在还原。三张视图给的信息是这样的：

• 正视图与侧视图长得一模一样：上面一个宽 $4$、高 $2$ 的矩形，下面一个上底 $4$、下底 $8$（标注写成 $2+4+2$）、高 $3$ 的等腰梯形；
• 俯视图是一个边长 $8$ 的正方形，里面套着一个边长 $4$ 的正方形，四个角用斜线连起来。

三句话把它拼回去。

第一句：横分界线说明它是上下两层。 正视图与侧视图上那条把矩形和梯形分开的横线，高度都是 $2$（从顶往下数），两张图上的高度对得齐——这正是「高平齐」。于是可以沿这条线把三张视图同时切成上下两段，每段各自还原一次。

第二句：上层是长方体，下层是四棱台。 上段：正视图、侧视图都是宽 $4$ 的矩形，俯视图是那个边长 $4$ 的内正方形 —— 一个 $4\times4\times2$ 的长方体。下段：正视图、侧视图都是等腰梯形，俯视图是「大正方形套小正方形 + 四条斜线」，那四条斜线就是四个侧面的投影 —— 一个下底 $8\times8$、上底 $4\times4$、高 $3$ 的四棱台。原卷的解析也正是这么说的：「图为一四棱台和长方体的组合体的三视图」。

第三句：别把俯视图上的 $2$ 当成高。 俯视图上纵向标的 $2+4+2$ 是水平方向的尺寸——它说的是上底正方形每边比下底缩进 $2$，而不是台有多高。台的高 $3$ 只能从正视图（或侧视图）竖直方向的标注读。三个方向的尺寸各有各的读法，串了就整道题错一个倍数（易错点「三视图的深度错当成高」）。

还原出来的立体是这样：

解法一：原卷路线——沿那条横分界线把三张视图一起切开，上下各套一条公式

上层：长方体。

$$V_{1}=4\times4\times2=32 .$$

下层：四棱台。 上底面积 $S'=4^{2}=16$，下底面积 $S=8^{2}=64$，高 $h=3$。由柱体、锥体、台体的体积中台体那一条，

$$V_{2}=\frac{h}{3}\left(S'+\sqrt{S'S}+S\right) =\frac{3}{3}\left(16+\sqrt{16\times64}+64\right) =16+32+64=112 .$$

中间那一项 $\sqrt{S'S}=\sqrt{16\times64}=\sqrt{1024}=32$，也就是两条底边长之积 $4\times8$。

相加。

$$V=V_{1}+V_{2}=32+112=144\ \left(\mathrm{cm}^{3}\right) .$$

两个最常见的错法，都栽在中间那一项上。

• 漏掉 $\sqrt{S'S}$，写成 $\dfrac{h}{2}(S'+S)=\dfrac{3}{2}\times80=120$：这等于把台体当成了「上下底面积取平均的柱体」。可台体在高度 $z$ 处的横截面面积是$A(z)=\left(8-\dfrac{4}{3}z\right)^{2}$，是 $z$ 的二次式且二次项系数 $\dfrac{16}{9}>0$，开口向上；这样的曲线整段都落在它两端连线的下方，所以「取两端平均」一定偏大——$120>112$，正好差了 $8$。
• 把台套成锥，写成 $\dfrac13Sh=\dfrac13\times64\times3=64$：锥体公式里的 $h$ 必须是从顶点量起的高，而这个台根本没有顶点——$3$ 是两底之间的距离，代进去既不是台也不是锥（易错点「台体套成锥体」）。

解法二：不背台体公式——把台补回成棱锥，大锥减小锥

怎么想到的。 棱台的定义就是「棱锥被平行于底面的平面截出来的那一段」。把被截掉的那个小锥补回去，台体就变成两个棱锥之差，而棱锥的体积公式只有 $\dfrac13Sh$ 一条，不必再记台体那条三项式。

延长侧棱，定出大锥的高。 四条侧棱延长后交于一点 $K$。截面（上底）平行于底面，所以小锥与大锥相似，相似比等于对应底边之比：

$$\frac{4}{8}=\frac12 .$$

相似比 $\dfrac12$ 意味着小锥的高也是大锥的一半。设大锥高为 $H$，则小锥高为 $\dfrac{H}{2}$，而两者之差正是台的高：

$$H-\frac{H}{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad H=6,\qquad \frac{H}{2}=3 .$$

两个锥相减。

$$V_{\text{大}}=\frac13\times 8^{2}\times 6=128, \qquad V_{\text{小}}=\frac13\times 4^{2}\times 3=16,$$ $$V_{2}=128-16=112 .$$

与解法一一致。再加上长方体的 $32$，得 $144$。

这条路顺带把「为什么不能取平均」讲明白了。 大锥与小锥的体积比是相似比的立方 $\left(\dfrac12\right)^{3}=\dfrac18$，即 $128:16$。体积按立方缩，面积按平方缩——正是这个「不同步」让台体的体积落不在两底的线性插值上。

解法三：把台切成一根柱、四块楔、四个角锥——顺带把那条公式算了出来

怎么想到的。 前两条路都要先记住点什么（台体公式，或「台是锥截出来的」）。其实可以什么都不记：把这个四棱台按上底的四条边竖直切下去，它就散成九块最基本的立体。设下底是 $[-4,4]\times[-4,4]$（$z=0$）、上底是 $[-2,2]\times[-2,2]$（$z=3$）。

第一块：正中间的正四棱柱。 上底那个 $4\times4$ 的正方形竖直向下拉到底面，得到一根底面 $4\times4$、高 $3$ 的柱：

$$V_{\text{柱}}=4\times4\times3=48 .$$

（它确实整根都在台内：台在高度 $z$ 处的横截面是边长 $8-\dfrac43z$ 的正方形——$z=0$ 时是 $8$、$z=3$ 时是 $4$——在 $[0,3]$ 上始终 $\geqslant4$，罩得住这根边长 $4$ 的柱。）

第二块：四条边上各一块楔。 以右边那块为例，它由 $2\leqslant x\leqslant 4-\dfrac23z$、$-2\leqslant y\leqslant2$、$0\leqslant z\leqslant3$ 围成：沿 $y$ 方向的每一个截面都是同一个直角三角形（两条直角边是 $2$ 与 $3$），所以它是一个躺着的三棱柱，长 $4$：

$$V_{\text{楔}}=\frac12\times2\times3\times4=12 , \qquad 4\ \text{块共}\ 48 .$$

第三块：四个角上各一个棱锥。 以右后那个角为例，它由 $2\leqslant x\leqslant 4-\dfrac23z$、$2\leqslant y\leqslant4-\dfrac23z$ 围成：在高度 $z$ 处是一个边长 $2-\dfrac23z$ 的正方形，到 $z=3$ 缩成一个点。这正是一个以 $[2,4]\times[2,4]$ 为底、以点 $(2,2,3)$ 为顶的棱锥，底面积 $2\times2=4$、高 $3$：

$$V_{\text{角}}=\frac13\times4\times3=4 , \qquad 4\ \text{个共}\ 16 .$$

拼起来。

$$V_{2}=48+48+16=112 .$$

加上长方体的 $32$，仍是 $144$。

这一刀切出来的就是台体公式本身。 把上面三块用一般的字母写一遍（下底边 $a$、上底边 $b$、高 $h$）：

$$\underbrace{b^{2}h}_{\text{柱}} +\underbrace{4\cdot\frac12\cdot\frac{a-b}{2}\cdot h\cdot b}_{\text{四块楔}\ =\ (a-b)bh} +\underbrace{4\cdot\frac13\cdot\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}h}_{\text{四个角锥}\ =\ \frac{(a-b)^{2}h}{3}} =\frac{h}{3}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right) ,$$

而 $a^{2}=S$、$b^{2}=S'$、$ab=\sqrt{S'S}$——台体那条公式就是这么来的。

但别把对应关系认得太死。 展开看一眼：

$$\underbrace{b^{2}h}_{\text{柱}} +\underbrace{abh-b^{2}h}_{\text{楔}} +\underbrace{\frac{a^{2}h}{3}-\frac{2abh}{3}+\frac{b^{2}h}{3}}_{\text{角锥}} =\frac{a^{2}h}{3}+\frac{abh}{3}+\frac{b^{2}h}{3} ,$$

没有哪一块单独贡献 $\sqrt{S'S}$ 这一项：$\frac{abh}{3}$ 是楔给的 $+abh$ 与角锥给的 $-\frac23abh$ 合出来的。所以「漏掉中间那一项」并不等于「把四块楔丢了」——真丢了楔，剩下的是 $b^{2}h+\frac{(a-b)^{2}h}{3}$。

顺带一个只在本题成立的巧合。 $b^{2}h+\frac{(a-b)^{2}h}{3}=\frac{a^{2}h}{3}$ 当且仅当 $3b^{2}+(a-b)^{2}=a^{2}$，即 $a=2b$。本题恰好 $8=2\times4$，于是「丢了四块楔」与「把台套成锥」撞在同一个错值 $64$ 上。换一组尺寸这两个错值就分开了。