柱体、锥体、台体的体积

教材原文（一）：多面体版，§8.3.1

一般地，如果棱柱的底面积是 S，高是 h，那么这个棱柱的体积

$V _ {\text {棱柱}} = S h.$

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为 $S$ ，高为 $h$ ，那么该棱锥的体积

$V _ {\text {棱锥}} = \frac {1}{3} S h.$

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式

$V _ {\text {棱台}} = \frac {1}{3} h \left(S ^ {\prime} + \sqrt {S ^ {\prime} S} + S\right),$

教材原文（二）：旋转体版与统一写法，§8.3.2

我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即

$V_{\text{圆柱}}=\pi r^{2}h(r \text{是底面半径}, h \text{是高}),$

$V _ {\text {圆锥}} = \frac {1}{3} \pi r ^ {2} h (r \text {是底面半径,} h \text {是高}).$

由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式

$V_{\text{圆台}} = \frac{1}{3} \pi h (r'^{2} + r'r + r^{2})(r', r \text{分别是上、下底面半径，} h \text{是高}).$

$V_{\text{柱体}}=Sh$ (S 为底面积，h 为柱体高);

$V_{\text{锥体}}=\frac{1}{3}Sh$ (S 为底面积, h 为锥体高);

$V_{\text{台体}} = \frac{1}{3} (S' + \sqrt{S'S} + S)h$ （$S'$，$S$ 分别为上、下底面面积，$h$ 为台体高）.

当 $S' = S$ 时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当 $S' = 0$ 时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.

要点

• 三条其实是一条。 台体公式里令 $S'=S$ 得柱体、令 $S'=0$ 得锥体——记住台体那一条，另外两条都是它的特例。

• $h$ 一律是「高」，不是母线长。 圆锥、圆台的斜边（母线）比高长，代错就把体积算大。

• 圆的情形直接把 $S=\pi r^2$ 代进去：

  $$V_{\text{圆柱}}=\pi r^2h,\qquad V_{\text{圆锥}}=\frac13\pi r^2h,\qquad V_{\text{圆台}}=\frac13\pi h\left(r'^2+r'r+r^2\right)$$

• 圆台还有第二种算法：把它补成一个完整的圆锥，再挖掉顶上那个小圆锥（大锥减小锥）。补出来的大锥高由相似比定：上下底半径 $r'$、$r$，台高 $h$，则大锥高 $H=\dfrac{rh}{r-r'}$。记不住台体公式时走这条路，只用锥体公式就够。

常见失手

• 锥体、台体漏乘 $\dfrac13$：柱体没有这个因子，三条公式挨着记时最容易串。
• 台体套成锥体：上底面没有被截掉的那一块要减掉，$\dfrac13 Sh$ 是整锥的体积，比台体大。