浙江 2019 · 数学 q04

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三视图还原的柱体：俯视图就是底面——沿共用的下底 $6$ 切开，上下各一个直角梯形（上底 $4$ 与 $2$，高都是 $3$）⟹ $S=15+12=27$；正视图的高 $6$ 就是柱体的高 ⟹ $V=Sh=27\times6=162$，选 B。代码里体积是把柱体拆成 9 个四面体求和算的，并且把顶面错切成同底同高的斜柱体再算一次——祖暅原理，一分不差

机位1题图角度2正对 正视面3沿 正视面 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：公式是题面白送的，活儿全在读图

题面把祖暅原理和结论一起给了：柱体的体积 $V_{\text{柱体}}=Sh$（$S$ 是底面积、$h$ 是高）。 所以这道题不考公式回忆，也不考祖暅原理的证明——它只考「$S$ 和 $h$ 分别是多少」， 而这两个数一个字都不在文字里，全在那三张视图上。

三视图是图，不在文字里。 本站的题面转写只抽得出文字，那三张视图是图；下面这一段是照本页 上方的原卷扫描图读出来的（读数与原卷【详解】里那句「高为6……上底为4，下底为6，高为3， 另一个的上底为2，下底为6，高为3」逐项对得上，可以互相印证）。

扫描图上的三张视图：

• 正视图：一个宽 $2+2+2=6$、高 $6$ 的矩形，内部有两条竖线——左边那条（距左端 $2$）是虚线，右边那条（距左端 $4$）是实线；
• 侧视图：一个宽 $3+3=6$、高 $6$ 的矩形；
• 俯视图：一个五边形——右边一条竖边长 $6$，上边长 $4$，下边长 $2$，左侧收成一个尖角朝左，尖角在竖直方向的正中间。

注意正视图与侧视图的轮廓一模一样（都是 $6\times 6$ 的正方形），差别全在内部那几条线上。 只描轮廓，你会以为它是一个棱长 $6$ 的正方体（那样 $V=216$）；底面的真形状只有俯视图给， 而内部线是「读对了没有」的凭据——这也是三视图题的常态：三张图少读一张、或只读轮廓不读内部线， 都可能还原成另一个立体。

⚠️ 这一考点不在现行教材里。 现行人教A版 5 册里没有「三视图」这一节（立体图形的图形表示收在 §8.2 直观图的斜二测画法），三视图只在两道习题里被当已知对象用过。浙江自主命题时代它是固定考点， 按现行教材备考的读者要先知道这一点。

解法一：俯视图就是底面，沿水平中线切成两个直角梯形

怎么想到的。 公式已经给了，剩下的是两件事：认出底面、读出高。三视图里这两件事各有 固定的读法——底面看俯视图，高看正视图（或侧视图）的竖直尺寸。底面若不是课本上的规则图形， 就把它切成几块规则的再相加。

① 先确认「俯视图就是底面」——靠的是「侧棱竖直」，不是「视图是矩形」。 题面已经声明它是 柱体（两底面平行全等、侧棱互相平行），缺的一环是侧棱朝哪个方向：只有侧棱竖直（直棱柱、 底面水平），俯视图才与底面全等。这一环由视图的轮廓给出：

正视图与侧视图的轮廓都是四条边横平竖直的矩形，没有一条斜边。柱体的形状由「底面 + 侧棱向量」 定死，所以只要排掉两种「歪」，剩下的就是直立的那个：

• 底面若是斜平面（侧棱竖直但两底面倾斜），正视图或侧视图的上、下边就会是斜的—— 倾斜方向在左右就正视图露、在前后就侧视图露。两张都是横平竖直的矩形，故底面水平。
• 侧棱若是斜的（底面已水平，侧棱偏离竖直方向，即斜棱柱），设它在左右偏移 $p$、前后偏移 $q$： $p\ne 0$ 时正视图的轮廓被「推斜」成平行四边形，$q\ne 0$ 时侧视图被推斜。两张都没有斜边， 故 $p=q=0$。

于是它是底面水平、侧棱竖直的直棱柱：俯视图（沿竖直方向的正投影）与底面全等，底面积 可以直接在俯视图上量；侧棱长就是竖直方向的尺寸 $6$，它同时是柱体的高。

这一步靠的是「柱体 + 两张轮廓都没有斜边」，不是「视图是矩形」本身。 只说「左右、前后的 宽度不随高度变化」是推不出「各层截面全等」的：把低处的截面取成 $(0,0),(6,0),(0,6)$ 这个三角形、高处取成它关于中心对称的那个，每层都撑满 $6\times 6$，正视图与侧视图的轮廓 照样是完整的矩形，而这个立体根本不是柱体。题面那句「某柱体」是必须用上的条件，不是背景。

另一头也别说过头：三视图题要的是「给出一个与三张图全都吻合的立体」，唯一性由题设保证 （题面说它是柱体，且四个选项里只有一个对），不是我们证出来的。

② 三个方向的尺寸各从哪张图读——顺手做一次免费自检。 投影规则是「长对正、高平齐、宽相等」， 每个尺寸都能在两张图上量到，两遍对不上就是读串了：

再核细一层，两张图连分段都对得上：

• 正视图被两条内部竖线分成 $2+2+2$，三个分界横坐标 $0,2,4,6$ 恰是俯视图五个顶点的横坐标；
• 侧视图被分成 $3+3$，恰是俯视图那个尖角把纵向 $6$ 平分成的两段。

这次自检抓什么、抓不住什么，要分清。 它抓的是「两张图之间读串了」——把深度错抄成正视图的高、 把某一段的长度记错，两张图立刻打架。它抓不住「整套读数一起读错」：那种错在三张图内部自洽， 只能回去看图。而这道题的判决权恰恰全在这组读数上：若把竖直尺寸读成 $7$、尖角读成纵向的 $4$ （切掉的两个直角三角形腿长成 $2,2$ 与 $4,4$），同一套方法给出 $S=36-2-8=26$、$V=26\times7=182$， 正是选项 C。 所以三视图题的第一动作永远是把三张图的尺寸互相对表，而不是急着算面积。

本题的读数还有一个文字旁证：原卷的【详解】把同一组数写成了话——「该棱柱的高为 $6$…… 其中一个上底为 $4$，下底为 $6$，高为 $3$，另一个的上底为 $2$，下底为 $6$，高为 $3$」， 与上面从扫描图上量的逐项相符（本页的教学图就是按【详解】那句话派生的，见图注台账）。

③ 底面切成两个直角梯形。 从尖角水平拉一条线到右边那条竖边（教学图里的蓝虚线），把五边形 切成上下两块。这条线是底面的一条水平弦，长度就是「长」$=6$，两块共用它：

• 上面那块：两条平行边是上边 $4$ 与这条公共边 $6$，它们的距离（纵向）是 $3$；
• 下面那块：两条平行边是下边 $2$ 与这条公共边 $6$，距离同样是 $3$。

右边那条竖边与两条平行边都垂直，所以两块都是直角梯形。注意这里的「$3$」量的是前后方向 的尺寸，它只在侧视图的宽和俯视图的纵向尺寸上出现——正视图里没有 $3$ 这个数。

④ 算 $S$，再乘高。

$$S=\underbrace{\frac{4+6}{2}\times 3}_{15}+\underbrace{\frac{2+6}{2}\times 3}_{12}=27, \qquad V=Sh=27\times 6=162 .$$

对照选项，选 B。

⑤ 换一种切法复核（这一步别省）。 同一个底面积，用补形再算一遍：把五边形补成那个 $6\times 6$ 的正方形（面积 $36$），补上去的是两个直角三角形——左上那个两条直角边为 $3$ 与 $2$、 左下那个为 $3$ 与 $4$：

$$S=36-\frac{3\times 2}{2}-\frac{3\times 4}{2}=36-3-6=27 \quad\checkmark$$

也可以把补形做在立体上：整个立体装在棱长 $6$ 的正方体（$V=216$）里，挖掉的是两个三棱柱， 高都是 $6$，底面就是刚才那两个三角形：

$$V=216-3\times 6-6\times 6=216-18-36=162 \quad\checkmark$$

顺带看出一个好记的比例：$\dfrac{S}{36}=\dfrac{27}{36}=\dfrac34$，即底面占了那个正方形的四分之三， 故 $V=\dfrac34\times 216=162$。

这三种算法各验了什么，说清楚免得自欺。 它们用的是同一组读数、同一个五边形，所以三条都 只在验算术（切分对不对、乘法有没有错）——读数若一起读错了，三条会一致地错到同一个错数上。 对读数负责的是第 ② 步那次投影对表，以及原卷【详解】那句文字；这一步的用处是「算错马上现形」， 不是「读对了的证明」。

解法二：不还原完整形状：体积必是 $3$ 的倍数

怎么想到的。 选择题只要求认出那个数。而这道题的四个选项都是整数，$V=Sh$ 又把体积写成了 「底面积 × 高」——只要知道 $h=6$，$V$ 就必须是 $6S$，这对 $V$ 是一条极硬的限制，根本不需要 知道底面长什么样。

① 只用两件事。

• $h=6$：正视图的高 $=$ 侧视图的高 $=6$，两张图对得上，这个数最不容易读错；
• 底面的每个顶点都落在整数刻度上（这才是要紧的前提：光知道各边长为整数不够—— 三边为 $3,4,6$ 的三角形面积就是个无理数）。顶点为整点的多边形，鞋带公式 $S=\dfrac12\left|\sum (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\right|$ 里那个和是整数，故 $2S$ 是整数， 即 $S$ 是整数或半整数。

② 于是 $V$ 必是 $3$ 的倍数。 写 $2S=k$（$k$ 为整数），则

$$V=6S=3\cdot(2S)=3k .$$

③ 拿它刷选项。

三个干扰项全都 $\equiv 2\pmod 3$，一条整除性就把它们同时刷掉，只剩 B。

④ 再挣一条更粗的界当双保险。 整个立体装在棱长 $6$ 的正方体里，故 $V\le 216$；而俯视图那个 五边形明显盖住了 $6\times 6$ 正方形的一半以上，故 $V>\dfrac{36}{2}\times 6=108$。区间 $(108,216]$ 只刷掉 $32$——它比整除性弱得多（$158$、$182$ 都在区间里）。两条必要条件的强弱要分清： 先用强的那条。

⑤ 边界：它证明了什么。 排除法只说「若答案在选项里，就只能是 B」，它没有独立算出体积。 本题正算也就两个梯形，所以正确的用法是先用它秒选、再用解法一核一遍；换成填空题，这条路 只能给出「答案是 $3$ 的倍数」这一条自检。

两条路差在哪。 解法一算的是那个数，代价是必须把俯视图读对、切对；解法二算的是 那个数的一条性质（模 $3$ 余 $0$），代价是只在选择题里有效。它们共用的其实只有一个读数： 高 $=6$。这就是本题的性价比所在——四个选项里三个连「$3$ 的倍数」都不是， 说明命题人本来指望考生正面还原，反倒漏了一条极便宜的必要条件。

记一句话版本：$V=Sh$ 里 $h$ 一给定，体积的整除性就被锁死了；选项若在这条性质上就露馅， 不必还原也能选。

🕳️ 避坑

四个选项的成因，能确定的和只能推测的分开说：

选项	能确定的	大概是怎么来的
A $158$	不是 $3$ 的倍数：$\dfrac{158}{6}=26\dfrac13$ 不是半整数	顶点落在整数刻度上的底面乘高 $6$ 都得不到它——它只是贴在 $162$ 旁边的诱饵
B $162$	$27\times 6$	正确
C $182$	同 A：$\dfrac{182}{6}=30\dfrac13$ 不是半整数	同上，贴在另一侧
D $32$	连底面积 $27$ 都只比它小一点，量级就不对	多半是把某个中间量当成了答案（例如把底面积算成 $36-4=32$ 之后忘了乘高）

• 算出来的数不在选项里，不要往最近的选项上凑。 本题的干扰项不是「某一步算错的产物」： 真把上底 $4$ 看成 $5$，得到的是 $S=\dfrac{5+6}{2}\times3+\dfrac{2+6}{2}\times3=16.5+12=28.5$、$V=171$——四个选项里没有这个数。 （两个梯形的高都是 $3$ 时 $S=\dfrac32(a+b+12)$ 恒是 $1.5$ 的倍数，所以读错一条上底只会落到 $\dots,25.5,\,27,\,28.5,\dots$ 这串数上。）此时唯一正确的反应是回去重读三视图，而不是挑一个 最近的 $162$ 填上——那样这回歪打正着，下回就不灵了。
• 「深」不在正视图上。 两个梯形的高 $3$ 只出现在侧视图的宽与俯视图的纵向尺寸里。正视图上 明晃晃标着 $2$ 和 $4$（那是两条内部竖线的位置），顺手抄一个当梯形的高，底面积就成了 $\dfrac{4+6}{2}\times 2+\dfrac{2+6}{2}\times 2=18$，体积 $108$——一个选项里没有的数。
• 前后归属由俯视图给出，正视图的虚实线只是对它的一次校验。 俯视图的画法是「下方 $=$ 前、 上方 $=$ 后」，所以「长 $2$ 的边在前、长 $4$ 的边在后」是从俯视图读来的，不是从虚实线 推来的：单看「实线在距左端 $4$ 处、虚线在 $2$ 处」定不了前后——还得知道那条满深度的竖边 在左端还是右端，两种摆法能给出完全相同的正视图与侧视图。虚实线的用处是反过来核一遍： 前面看得见的棱画实线、被挡住的画虚线，若把长 $4$ 的边读到了前面，虚实就该互换。 （前后互换只是把立体翻个面，$S$ 与 $V$ 一点不变，所以这条读错也不影响答案； 但两条竖线的位置必须与俯视图的顶点横坐标 $0,2,4,6$ 对得上，对不上就是真读错了。）
• 内部的线也要读，不能只读轮廓。 本题正视图、侧视图的轮廓都是 $6\times 6$ 的正方形—— 与棱长 $6$ 的正方体（$V=216$）一模一样；分辨二者的正是那些内部线：本题正视图里有 距左端 $2$ 的虚线与距左端 $4$ 的实线、侧视图里有深度 $3$ 处的一条内部线，正方体则一条也没有。 只描轮廓、不看内部线，$216$ 与 $162$ 就分不开了。
• 祖暅原理是题面的背景，不是要用的工具。 它在这儿的作用只是「解释 $V_{\text{柱体}}=Sh$ 为什么成立」， 读到它不必去想等高截面那一套；把公式接过来用就是了。

两条路殊途同归：正面算得 $27\times 6=162$，侧面只用一条整除性就把选项刷到只剩 $162$。故选 B。