等体积法求点面距

解题套路

要求点 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离 $d$，别去找垂足——把 $P,A,B,C$ 看成一个四面体，它的体积与「以哪个面为底」无关：

换底的诀窍：挑一个底面躺在已知平面里、高一眼可见的算法把 $V$ 算出来。典型情形是某条棱垂直于底面（由前一问证得的线面垂直），那条棱长就是高。

三步

1. 选好算的那一组：底面在熟悉的平面内（如底面 $ABCD$ 所在平面），高是现成的垂线段 → 得 $V$；
2. 算目标面的面积 $S_{\triangle ABC}$：三边长齐了就用等腰高、海伦或 $\frac12ab\sin C$；
3. 相除：$d=\dfrac{3V}{S}$。

为什么比找垂足强

垂足的位置往往说不清（不在任何特殊点上），硬找要额外做一堆辅助线；而体积只关心「底面积 × 高」这两个标量，垂足在哪根本不需要知道。

失手处

• 系数 $\frac13$ 漏掉或多写：两边都是锥体，$\frac13$ 会约掉，但只在两边都写全时才约得掉；写成 $V=S\cdot d$ 就错了。
• 底面积算错：目标面常是斜的三角形，三边先算准，别拿平面图里的长度凑。
• 高不是棱长：换底时用的高必须垂直于所选底面，不能顺手拿一条斜棱。