浙江 2020 · 数学 q19

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三棱台 DEF-ABC（面 ADFC ⊥ 面 ABC，$\angle ACB = \angle ACD = 45^\circ$，$DC = 2BC$，设 $BC = 1$）· 亮蓝 = 面 DBC，灰虚线 = 高 DH，绿 = 斜线 HC 与它的垂线段 HG（$G$ 是 $H$ 的射影，$\theta = \angle HCG \approx 35.26^\circ$）

机位1题图角度2正对 DBC3沿 DBC 看4俯视自由视角

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冷启动：手上有什么，要什么

三棱台 $DEF\text{-}ABC$，条件只有三句：

$$\text{面 } ADFC\perp\text{面 } ABC,\qquad \angle ACB=\angle ACD=45^\circ,\qquad DC=2BC .$$

要证 $EF\perp DB$，要求 $DF$ 与面 $DBC$ 所成角的正弦值。

先数一下没给什么：$AB$、$AC$ 多长没给，上底面 $\triangle DEF$ 多大没给，$AD$ 多长没给。 这不是漏条件，是真的不需要——下面会看到两问都只用到 $D$、$B$、$C$ 三个点和一个垂足。

第一步：把 E、F 换掉

$DEF\text{-}ABC$ 是棱台，上下底面平行。侧面 $BCFE$ 是同时与两个底面相交的第三个平面， 两条交线分别是 $EF$ 与 $BC$，于是由面面平行的性质定理

$$EF\parallel BC ;\qquad\text{同理（侧面 } ADFC\text{）}\quad DF\parallel AC .$$

两问立刻改写成只关于底面的问题：

• （Ⅰ）$EF\perp DB\iff BC\perp DB$；
• （Ⅱ）$DF$ 与面 $DBC$ 所成角 $=$ 直线 $AC$ 与面 $DBC$ 所成角。

上底面从此不再出现。棱台题的第一刀几乎总是这一刀：用平行把上底的棱换成下底的棱。

第二步：把那条高作出来

面 $ADFC\perp$ 面 $ABC$，交线是 $AC$。在面 $ADFC$ 内作

$$DH\perp AC\ \text{于 } H ,$$

由面面垂直的性质定理得 $DH\perp$ 面 $ABC$。注意不能省这一步：$DC$ 与交线 $AC$ 成 $45^\circ$， 它并不垂直于底面（详见下面避坑第 1 条）。

第三步：设一个长度，把底面算干净

题目只给了比 $DC=2BC$，而要求的是一个角，角与整体放大缩小无关，所以可以设

$$BC=1,\qquad DC=2 .$$

$H$ 在射线 $CA$ 上，故 $\angle DCH=\angle DCA=45^\circ$。在 $\mathrm{Rt}\triangle DHC$ 中

$$CH=DC\cos 45^\circ=\sqrt2,\qquad DH=DC\sin 45^\circ=\sqrt2 .$$

再看底面里的 $\triangle BHC$：已知 $BC=1$、$CH=\sqrt2$、$\angle BCH=\angle ACB=45^\circ$。用余弦定理

$$BH^2=BC^2+CH^2-2\,BC\cdot CH\cos45^\circ=1+2-2=1,\qquad BH=1 ,$$

而 $BC^2+BH^2=1+1=2=CH^2$，故

$$\angle HBC=90^\circ .$$

这个直角是全题的枢纽，它是 $DC=2BC$ 与两个 $45^\circ$ 合谋做出来的： $BC=1=\sqrt2\cdot\cos45^\circ=CH\cos\angle BCH$，正说明 $B$ 就是 $H$ 在射线 $CB$ 上的垂足。 最后由 $DH\perp$ 底面得 $DH\perp HB$，

$$DB=\sqrt{DH^2+HB^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt3 .$$

于是六条长度全部到手：

$$BC=1,\quad DC=2,\quad CH=\sqrt2,\quad DH=\sqrt2,\quad BH=1,\quad DB=\sqrt3 .$$

三条路从这里分叉。

解法一：作两次垂线，把角落进 △HGC（官方那条）

（Ⅰ） 冷启动第三步已给出 $\angle HBC=90^\circ$，即底面里 $BC\perp BH$； 又 $DH\perp$ 面 $ABC$ 而 $BC\subset$ 面 $ABC$，故 $BC\perp DH$。 $BH$、$DH$ 是面 $DHB$ 内交于 $H$ 的两条直线，由线面垂直的判定定理

$$BC\perp\text{面 } DHB .$$

$DB\subset$ 面 $DHB$，所以 $BC\perp DB$。再由第一步的 $EF\parallel BC$（棱台上下底面平行， 侧面 $BCFE$ 与两个底面的交线必平行），两条平行线中一条垂直于 $DB$，另一条也垂直：

$$EF\perp DB .$$

（Ⅱ） 上一步的 $BC\perp$ 面 $DHB$ 还有一个用处：$BC\subset$ 面 $DBC$，由面面垂直的判定定理

$$\text{面 } DBC\perp\text{面 } DHB,\qquad \text{交线是 } DB .$$

于是在面 $DHB$ 内作 $HG\perp DB$ 于 $G$，由面面垂直的性质定理 $HG\perp$ 面 $DBC$—— $G$ 就是 $H$ 在面 $DBC$ 上的射影。这正是「借面面垂直找垂足」的两步走。

$DH\perp$ 面 $ABC$、$HB\subset$ 面 $ABC$ 给出 $\angle DHB=90^\circ$，所以 $HG$ 是 $\mathrm{Rt}\triangle DHB$ 斜边 $DB$ 上的高：

$$HG=\frac{DH\cdot HB}{DB}=\frac{\sqrt2\times1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3} .$$

$H$ 在 $AC$ 上，故直线 $CH$ 就是直线 $AC$，它与面 $DBC$ 交于 $C$；$H$ 在这个面上的射影是 $G$， 所以 $AC$ 与面 $DBC$ 所成的角就是 $\angle HCG$。又由第一步 $DF\parallel AC$， 而平行的两条直线与同一平面所成的角相等，所求角 $\theta$ 就是它。 $HG\perp$ 面 $DBC$、$GC\subset$ 面 $DBC$ 给出 $\angle HGC=90^\circ$，在 $\mathrm{Rt}\triangle HGC$ 里：

$$\sin\theta=\sin\angle HCG=\frac{HG}{HC}=\frac{\dfrac{\sqrt6}{3}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{3} .$$

解法二：以 H 为原点建系，法向量是 (1,1,1)

$DH\perp$ 底面，天然是 $z$ 轴。取 $H$ 为原点，$x$ 轴沿 $\overrightarrow{HC}$，$y$ 轴在底面内与它垂直：

$$H(0,0,0),\qquad C(\sqrt2,0,0),\qquad D(0,0,\sqrt2) .$$

$B$ 由 $HB=1$、$BC=1$、$\angle HBC=90^\circ$ 定出（取 $y>0$ 一侧）：

$$B\left(\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ 0\right) .$$

一验就对：$|\overrightarrow{HB}|=1$，$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BH}=-\frac12+\frac12=0$。

（Ⅰ） $EF\parallel BC$，而

$$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2},0\right),\qquad \overrightarrow{DB}=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},-\sqrt2\right),$$ $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DB}=\frac12-\frac12+0=0 ,$$

故 $BC\perp DB$，从而 $EF\perp DB$。

（Ⅱ） 面 $DBC$ 的法向量：

$$\boldsymbol n=\overrightarrow{DC}\times\overrightarrow{DB} =\left(\sqrt2,0,-\sqrt2\right)\times\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},-\sqrt2\right)=(1,1,1) .$$

$DF\parallel AC$，方向取 $\boldsymbol u=(1,0,0)$，于是

$$\sin\theta=\frac{|\boldsymbol n\cdot\boldsymbol u|}{|\boldsymbol n|\,|\boldsymbol u|}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} .$$

法向量算成 $(1,1,1)$ 不是巧合。把三点代进去可以看出面 $DBC$ 的方程是

$$x+y+z=\sqrt2 ,$$

三个坐标轴上的截距都等于 $\sqrt2$——这个平面与三条轴等倾，与每条轴所成角的正弦都是 $\frac{1}{\sqrt3}$。 顺带得到一个免费的对照：原点 $H$ 到它的距离是 $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}{3}$， 正是解法一算出来的 $HG$。

解法三：勾股定理的逆定理 + 等体积求点面距

这条路不再作新的辅助垂线（$H$ 与 $DH\perp$ 面 $ABC$ 仍要用，那是冷启动第三步已经作好的）， 垂足 $G$ 也不必作出来，只用已经算出的长度。

（Ⅰ） $DB=\sqrt3$、$BC=1$、$DC=2$，而

$$DB^2+BC^2=3+1=4=DC^2 ,$$

由勾股定理的逆定理 $\angle DBC=90^\circ$，即 $BC\perp DB$；再由 $EF\parallel BC$（棱台的侧面 $BCFE$ 与两个平行底面的交线）得 $EF\perp DB$。 （第（Ⅰ）问原来要走「线面垂直」，这里退化成一次算术。）

（Ⅱ） $DF\parallel AC$（棱台的侧面 $ADFC$ 与两个平行底面的交线），平行的两条直线与同一平面 所成的角相等，所以所求角就是 $AC$ 与面 $DBC$ 所成的角。这条斜线过 $H$ 与 $C$，而 $C$ 在面 $DBC$ 上， $H$ 不在（下面算出的 $d(H)\neq0$ 反过来印证了这一点），所以

$$\sin\theta=\frac{d(H,\ \text{面 } DBC)}{HC} .$$

点面距用等体积法：四面体 $D\text{-}HBC$ 换两个底面算两次。以 $\triangle HBC$ 为底、$DH$ 为高（$\angle HBC=90^\circ$）：

$$V=\frac13\cdot\frac12\cdot HB\cdot BC\cdot DH=\frac13\cdot\frac12\cdot1\cdot1\cdot\sqrt2=\frac{\sqrt2}{6} .$$

以 $\triangle DBC$ 为底（由（Ⅰ）它在 $B$ 处是直角）：

$$S_{\triangle DBC}=\frac12\cdot DB\cdot BC=\frac{\sqrt3}{2},\qquad d(H)=\frac{3V}{S_{\triangle DBC}}=\frac{3\times\frac{\sqrt2}{6}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt6}{3} .$$ $$\sin\theta=\frac{d(H)}{HC}=\frac{\dfrac{\sqrt6}{3}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{3} .$$

教学图

上块把三句条件、两条平行、两次垂直串成一条线；下块是解题时真正在算的两张纸： 底面那张负责找出隐藏的直角，含高那张负责作出垂足 $G$ 并算 $HG$。 立体几何题画不动的时候，这种「把用到的每个平面各画一张真形状」几乎总能救场。 （上块的机位是从 $y$ 轴正向看的，左右与题面图相反；同目录的 q19-model.json 可以在站上转着看。）

三条路怎么选

三条都绕不开第三步那几个长度，差别只在拿到长度之后。考场上第（Ⅰ）问建议走解法一（证明题写线面垂直最稳）， 第（Ⅱ）问看习惯：怕作图就建系，怕算坐标就等体积。

避坑

1. 面面垂直不等于线面垂直。由「面 $ADFC\perp$ 面 $ABC$」直接写「$DC\perp$ 面 $ABC$」是本题最常见的死法—— $DC$ 与交线 $AC$ 成 $45^\circ$，压根不垂直于底面。必须在面内朝交线作垂线 $DH$，垂足落在 $AC$ 上。
2. $H$ 不是 $A$。垂足由作图定出，$CH=\sqrt2$；题目连 $AC$ 的长度都没给，$H$ 与 $A$ 没有任何关系。
3. $EF\parallel BC$ 要给理由。写「棱台的定义」不够，正规依据是面面平行的性质定理 （上下底面平行 $+$ 侧面 $BCFE$ 是第三个平面 $\Rightarrow$ 两条交线平行）。更不能顺手写成 $EF=BC$—— 棱台的上下底面只相似、不全等。
4. $\triangle BHC$ 是直角三角形要算，不能因为看着像就写。要么余弦定理算出 $BH=1$ 再用勾股逆定理， 要么直接说 $BC=CH\cos45^\circ$ 故 $B$ 是垂足；两句都行，一句不写不行。
5. 设 $BC=1$ 得先说一句「设」。题目只给比例，所求是角，故可设；但要写明这是设的， 否则后面每个数字都像凭空掉下来的。
6. 线面角是斜线与它的射影所成的角，不是与平面内随便一条线所成的角。$\angle FDB$、$\angle FDC$ 都不是所求， $\angle HCG$ 才是（因为 $CG$ 是 $CH$ 的射影）。
7. $\sin\theta=\frac{HG}{HC}$ 的分母是斜线段 $HC$，写成 $\frac{HG}{HD}$ 或 $\frac{HG}{HB}$ 是高频错。 记法：正弦 $=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，而斜边就是那条斜线段。
8. $\frac{\sqrt6}{3}$ 是点面距，不是答案。它是 $HG$；再除以 $HC=\sqrt2$ 才得 $\frac{\sqrt3}{3}$。 两个数长得像，中途停手就丢一半分。
9. 建系时 $z$ 轴必须是 $HD$。把 $DC$ 当 $z$ 轴的话，坐标全错而计算一路顺畅，最后毫无报警。 建系前先答一句「这条轴凭什么垂直于底面」。
10. 等体积法两次配对别串：$\frac13 S_{\triangle HBC}\cdot DH$ 里的高是 $DH$（因为 $DH\perp$ 底面）， $\frac13 S_{\triangle DBC}\cdot d(H)$ 里的高才是待求的点面距。配错就成了「用 $DH$ 除以 $S_{\triangle DBC}$」。

收口：这类题的通用做法

1. 棱台先降维：上下底面平行 $\Rightarrow$ 侧面上的两条对应棱平行，把上底面的直线全换成下底面的棱， 题目塌成一个棱锥或四面体。
2. 面面垂直 $\Rightarrow$ 作交线的垂线，得到唯一那条高，垂足记名字。
3. 只给比例就设一个长度，把底面那个三角形彻底算清（余弦定理 $+$ 勾股逆定理）， 顺手留意有没有隐藏的直角——出题人往往就靠它撑起整道题。
4. 证线线垂直：给其中一条找一个垂直的平面（本题 $BC\perp$ 面 $DHB$），再把另一条塞进这个平面。
5. 求线面角：三条路任选——几何找垂足、建系用法向量、等体积化点面距。 写答案前回头确认分母是斜线段、且 $\sin$ 没写成 $\cos$。