面面平行的性质定理

教材原文

我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理.

定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

定理

设 $\alpha\parallel\beta$，$\gamma\cap\alpha=a$，$\gamma\cap\beta=b$，则 $a\parallel b$。

要点

• 它是从面面平行取出线线平行的唯一正规通道。反过来的话不成立： $\alpha\parallel\beta$、$a\subset\alpha$、$b\subset\beta$ 时 $a$ 与 $b$ 可以异面—— 必须由同一个 $\gamma$ 把两条线切出来，两条交线才共面、才平行。
• 证明只用两句：两条交线同在 $\gamma$ 内（故共面），又分别在两个无公共点的平面内（故不相交）， 共面又不相交就是平行。
• 棱台、棱柱里到处是它的现成结论：上下底面平行，侧面是第三个平面， 于是侧面上那两条对应的底边平行（棱台 $DEF\text{-}ABC$ 里 $EF\parallel BC$、$DF\parallel AC$、$DE\parallel AB$）。 这一步常常是把「上底面的直线」换成「下底面的棱」的唯一依据。
• 与它配套的一条常用结论（课本习题）：夹在两个平行平面之间的平行线段相等—— 两条平行线定出第三个平面，两条交线平行，围出平行四边形。