直线与平面所成的角

教材原文

如图 8.6-14，一条直线 l 与一个平面 $\alpha$ 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 A 叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 $\alpha$ 引垂线 PO，过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 $90^{\circ}$；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 $0^{\circ}$。直线与平面所成的角 $\theta$ 的取值范围是 $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$。

怎么找

三步，缺一不可：

1. 找垂足：从斜线上任取一点 $P$（斜足以外），向平面作垂线 $PO$，$O$ 是垂足；
2. 连射影：连接垂足 $O$ 与斜足 $A$，$AO$ 就是射影；
3. 读角：$\angle PAO$ 就是线面角。

于是 $P$、$O$、$A$ 组成一个直角三角形（直角在 $O$），线面角的正切是

「垂线段比射影」这一句是这类题的主力工具：只要垂足找对了，求角就退化成算两条线段。

要点

• 范围是 $[0^\circ,90^\circ]$，不会是钝角——它比的是斜线与射影，而射影总在同侧。

• 用向量算时：设平面法向量 $\vec n$、直线方向 $\vec m$，则

  $$\sin\theta=\frac{|\vec m\cdot\vec n|}{|\vec m|\,|\vec n|}$$

  这里出来的是 $\sin$ 不是 $\cos$（法向量与直线的夹角同线面角互余），且要取绝对值。

• 它是斜线与平面内所有直线所成角中最小的那个（教材紧接着的那个思考题问的就是这件事）。

常见失手

• 垂足找错：$PO$ 必须真的垂直于平面（垂直于面内两条相交直线），只垂直于一条不算。
• 向量法用了 $\cos$：法向量给的是余角，忘记换成 $\sin$ 会把答案变成它的余角。
• 忘了取绝对值：法向量方向可以取反，$\vec m\cdot\vec n$ 的符号没有意义。