立体几何中的线面角最值

题型说明

• 常见问法：「点 $P$ 沿墙面上的直线 $CM$ 移动，求由 $A$ 观察 $P$ 的仰角 $\theta$ 的最大值」； 也常写成「求 $AP$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦（正切）的最大值」。多在填空题的压轴位置。

• 骨架只有两步：

  1. 落地：作 $PP'\perp\alpha$，垂足 $P'$ 是 $P$ 的射影，于是 $\tan\theta=\dfrac{PP'}{AP'}$、$\sin\theta=\dfrac{PP'}{AP}$。 两条边都只由 $P'$ 在平面内的位置决定，三维一步压成一元。
  2. 求最值：把 $P'$ 的位置设成一个带正负号的坐标，写出那个一元函数， 求导 / 判别式 / 三角换元三选一。

有一条捷径：最大角就是二面角

动点跑在一条直线 $l$ 上、定点 $A$ 不在 $l$ 上时，直线 $AP$ 始终在平面 $\beta=\text{平面}(A,l)$ 内。 平面内的直线与另一平面 $\alpha$ 所成的角不超过 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角， 等号在 $AP$ 垂直于交线（即 $AP$ 是 $\beta$ 内的最大斜度线）时取到。所以

一个字母都不用设。代价是要回验：那条最大斜度线对应的 $P$ 必须真的落在动点的活动范围里。

常见陷阱

• 动点的活动范围照示意图截短：图上只画了一段，动点其实跑遍整条射线或直线。
• 把 $\theta$ 的最大值和 $\tan\theta$ 的最大值当成两回事——$\theta\in[0^\circ,90^\circ)$ 上 $\tan$ 单调增，两者同时取到，可以放心只对 $\tan\theta$ 求最值。
• 用「最大角就是二面角」却不回验取等，得到的只是一个够不着的上界。