动点的活动范围照示意图截短

错在哪

示意图是示意，不是定义域。命题人画图时只会把点画在版面装得下、看得清的位置； 「$P$ 沿射线 $CM$ 移动」这句话在文字里，而射线在图上只画到 $M$ 为止。

于是常见的写法是：

由图，$P'$ 在线段 $BC$ 上，设 $BP'=x\ (0\leq x\leq 20)$……

——范围里那个 $0\leq$ 是从图上读来的，题面从来没说过。

危险之处在于它不会报错。 在截短的区间上照样能求出一个最值，而且常常长得很干净， 交上去之前没有任何信号提示你少看了一半。

一个一眼可见的例子

2014 年浙江卷第 17 题：$\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{20-x}{\sqrt{225+x^{2}}}$。

• 照图取 $x\in[0,20]$：函数在这一段单调递减，最大值在左端点，得 $\dfrac{4\sqrt3}{9}$。
• 按题面取 $x\leq20$：最大值在 $x=-\dfrac{45}{4}$，得 $\dfrac{5\sqrt3}{9}$。

两个答案都是 $\dfrac{\square\sqrt3}{9}$ 的形状，错的那个一点都不难看。

怎么避免

• 范围从文字里抄，不从图上读。「沿射线移动」「在直线上运动」「$P$ 是线段 $AB$ 上的点」—— 只有第三种才有两端。
• 设完变量先问一句：这个变量能不能取负？ 能取负却写成 $x\geq0$，多半就是照着图设的。
• 求完最值再看一眼端点值与极限值：如果最值恰好落在你设的区间端点上， 优先怀疑是自己把区间截短了（真正的峰在区间外面）。