易错点

线面角用法向量算成余弦

法向量与斜线夹角的余弦，等于线面角的正弦——算出来的那个数直接就是 sin⁡θ\sin\theta，别再取一次余弦。

坑长什么样

用向量法求直线 ll 与平面 α\alpha 所成角 θ\theta，取 α\alpha 的法向量 n⃗\vec n、ll 的方向向量 u⃗\vec u，算出

∣cos⁡⟨n⃗,u⃗⟩∣=∣n⃗⋅u⃗∣∣n⃗∣ ∣u⃗∣\left|\cos\langle \vec n,\vec u\rangle\right|=\frac{\left|\vec n\cdot\vec u\right|}{|\vec n|\,|\vec u|}
  • 错：把它当成 cos⁡θ\cos\theta，再去反求 θ\theta 或写成答案；
  • 对：它就是 sin⁡θ\sin\theta。
 sin⁡θ=∣cos⁡⟨n⃗,u⃗⟩∣ \boxed{\ \sin\theta=\left|\cos\langle\vec n,\vec u\rangle\right|\ }

为什么是正弦

n⃗\vec n 垂直于平面，而 θ\theta 是 ll 与平面内射影的夹角。ll 与 n⃗\vec n 的夹角是 90∘−θ90^\circ-\theta（或 90∘+θ90^\circ+\theta，取决于方向），而

cos⁡(90∘±θ)=∓sin⁡θ ⟹ ∣cos⁡⟨n⃗,u⃗⟩∣=sin⁡θ\cos(90^\circ\pm\theta)=\mp\sin\theta \ \Longrightarrow\ \left|\cos\langle\vec n,\vec u\rangle\right|=\sin\theta

「法向量多转了 90∘90^\circ」，正余弦就换了位。

绝对值也不能少

n⃗\vec n 的方向可以取反、u⃗\vec u 也一样，点积的符号随之翻转；而线面角规定在 [0∘,90∘][0^\circ,90^\circ]，正弦非负。所以外面那个绝对值是定义的一部分，不是可选项。

与另外两种角的对照

要求的角用什么向量公式
异面直线所成角两条直线的方向向量cos⁡θ=∥cos⁡⟨u⃗,v⃗⟩∥\cos\theta=\left\|\cos\langle\vec u,\vec v\rangle\right\|
直线与平面所成角方向向量 + 法向量sin⁡θ=∥cos⁡⟨u⃗,n⃗⟩∥\sin\theta=\left\|\cos\langle\vec u,\vec n\rangle\right\|
二面角两个平面的法向量∥cos⁡θ∥=∥cos⁡⟨n⃗1,n⃗2⟩∥\left\|\cos\theta\right\|=\left\|\cos\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle\right\|，符号另判

只有线面角这一行是 sin⁡\sin，另两行是 cos⁡\cos——记住这一条差别，就不会串。

怎么防

  • 写公式时把 sin⁡θ\sin\theta 三个字先写下来，再写等号右边。
  • 量级自查：线面角常是「不大不小」的角；若算出的数超过 11，说明公式抄错了。

学它之前先会

共 4 条前置、最深 4 层。

出现在以下题目中

共 5 道题考到本条。