浙江 2018 · 数学 q19

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多面体 $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$：三条竖棱都垂直于底面却互不等高（$A_{1}A=4$、$B_{1}B=2$、$C_{1}C=1$），底面 $AB=BC=2$、$\angle ABC=120^{\circ}$ ⟹ (Ⅰ) $AB_{1}$ 同时垂直于 $B_{1}A_{1}$ 与 $B_{1}C_{1}$，故 $AB_{1}\perp$ 平面 $A_{1}B_{1}C_{1}$；(Ⅱ) $C_{1}H\perp$ 侧面 $ABB_{1}$ ⟹ $\sin\theta=\frac{C_{1}H}{AC_{1}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$

机位1题图角度2正对 A₁B₁C₁3沿 A₁B₁C₁ 看4俯视自由视角

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冷启动：三根竖棱不一样高

底面是 $\triangle ABC$，$AB=BC=2$，$\angle ABC=120^{\circ}$。三条侧棱 $AA_1$、$BB_1$、$CC_1$ 都垂直于底面，长度分别是 $4$、$2$、$1$。所以这是一个「顶面与底面平行、侧棱都竖直」的多面体，只是三条竖棱长短不一。

（Ⅰ）要证 $AB_1$ 垂直于顶面 $A_1B_1C_1$，只需证它垂直于顶面里两条相交直线，比如 $A_1B_1$ 与 $B_1C_1$。（Ⅱ）求 $AC_1$ 与竖直平面 $ABB_1$ 所成角的正弦。

解法一：勾股证垂线，点面距求正弦

怎么想到的。 三根竖棱都垂直底面，侧面 $ABB_1A_1$ 与 $BCC_1B_1$ 都是直角梯形，边长全部知道。先在这两个梯形里用勾股的逆定理抓直角，再看 $AB_1$ 与 $B_1C_1$ 是不是直角——这一步要用 $120^{\circ}$，不能说「同理」。线面角那边，平面 $ABB_1$ 是竖直的，点 $C_1$ 到这个平面的距离就是 $C$ 到直线 $AB$ 的距离。

（Ⅰ） $AA_1\perp$ 平面 $ABC$，$BB_1\perp$ 平面 $ABC$，所以 $AA_1\parallel BB_1$，四边形 $ABB_1A_1$ 是直角梯形。

$$A_1B_1=\sqrt{AB^{2}+(AA_1-BB_1)^{2}}=\sqrt{4+(4-2)^{2}}=2\sqrt{2},$$ $$AB_1=\sqrt{AB^{2}+BB_1^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}.$$

于是 $AA_1^{2}=16=8+8=AB_1^{2}+A_1B_1^{2}$，故 $AB_1\perp A_1B_1$。

再看 $B_1C_1$。直角梯形 $BCC_1B_1$ 里 $B_1C_1=\sqrt{BC^{2}+(BB_1-CC_1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。斜线 $AC_1$ 的平方：先算 $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos 120^{\circ}=4+4-8\cdot\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)=12$，又 $CC_1\perp$ 底面，所以

$$AC_1^{2}=AC^{2}+CC_1^{2}=12+1=13.$$

于是 $AB_1^{2}+B_1C_1^{2}=8+5=13=AC_1^{2}$，故 $\triangle AB_1C_1$ 在 $B_1$ 处为直角，即 $AB_1\perp B_1C_1$。

$A_1B_1$ 与 $B_1C_1$ 交于 $B_1$，由线面垂直的判定定理，$AB_1\perp$ 平面 $A_1B_1C_1$。

（Ⅱ） 平面 $ABB_1$ 含竖直线 $BB_1$，所以它垂直于底面，交线是 $AB$。$C_1$ 在 $C$ 的正上方，因此 $C_1$ 到平面 $ABB_1$ 的距离等于 $C$ 到直线 $AB$ 的距离：

$$d=BC\cdot\sin 120^{\circ}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

$A$ 在平面上，$AC_1$ 是斜线，$|AC_1|=\sqrt{13}$。线面角 $\theta$ 满足 $\sin\theta=\dfrac{d}{|AC_1|}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{39}}{13}$。

解法二：建系，用法向量求线面角

怎么想到的。 三根竖棱已经给出了天然的竖直方向。把 $AC$ 的中点放在原点，$OB$ 当 $x$ 轴，就能把 $120^{\circ}$ 写成坐标。

底面 $AB=BC=2$，$\angle ABC=120^{\circ}$，所以 $AC=2\sqrt{3}$。取 $AC$ 中点 $O$，则 $OA=OC=\sqrt{3}$，且 $OB\perp AC$、$OB=1$（$\triangle ABO$ 里 $1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=2^{2}$）。

以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$、$$竖直向上为 $x$、$y$、$z$ 轴。为了让 $\angle ABC=120^{\circ}$，$A$、$C$ 必须分居 $y$ 轴两侧且 $B$ 在 $x$ 轴正方向：

$$A(0,\sqrt{3},0),\quad B(1,0,0),\quad C(0,-\sqrt{3},0),$$ $$A_1(0,\sqrt{3},4),\quad B_1(1,0,2),\quad C_1(0,-\sqrt{3},1).$$

（Ⅰ） $\overrightarrow{AB_1}=(1,-\sqrt{3},2)$，$\overrightarrow{A_1B_1}=(1,-\sqrt{3},-2)$，$\overrightarrow{B_1C_1}=(-1,-\sqrt{3},-1)$。

$$\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{A_1B_1}=1+3-4=0,\qquad\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{B_1C_1}=-1+3-2=0.$$

两条相交于 $B_1$，所以 $AB_1\perp$ 平面 $A_1B_1C_1$。

（Ⅱ） $\overrightarrow{AB}=(1,-\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{AC_1}=(0,-2\sqrt{3},1)$。

平面 $ABB_1$ 的法向量 $\vec n=(x,y,z)$ 满足 $x-\sqrt{3}y=0$、$z=0$。取 $\vec n=(\sqrt{3},1,0)$。

$$\sin\theta=\dfrac{|\vec n\cdot\overrightarrow{AC_1}|}{|\vec n|\,|\overrightarrow{AC_1}|}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2\cdot\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{39}}{13}.$$