浙江 2018 · 数学 q19

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2018 · 数学 q19 原卷截图（含答案）

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题面

  1. （本题满分 15 分）如图，已知多面体 ABCA1B1C1ABCA_{1}B_{1}C_{1} ， A1AA_{1}A ， B1BB_{1}B ， C1CC_{1}C 均垂直于平面 ABC， ∠ABC=120∘\angle ABC=120^{\circ} ， A1A=4A_{1}A=4 ， C1C=1C_{1}C=1 ， AB=BC=B1B=2AB=BC=B_{1}B=2 。

（Ⅰ）证明： AB1⊥AB_{1} \perp 平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1} ;

(II) 求直线 AC1AC_{1} 与平面 ABB1ABB_{1} 所成的角的正弦值.

(Ⅰ) 证明: AB1⊥AB_{1} \perp 平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1};

(Ⅱ) 求直线 AC1AC_{1} 与平面 ABB1ABB_{1} 所成的角的正弦值.

解析

分析

（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理证明 AB1⊥A1B1AB_{1} \perp A_{1}B_{1} ， AB1⊥B1C1AB_{1} \perp B_{1}C_{1} ，从而可得 AB1⊥AB_{1} \perp 平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1} ;

（Ⅱ）以 AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面 ABB1ABB_{1} 的法向量 n⃗\vec{n} ，计算 n⃗\vec{n} 与 AC1→\overrightarrow{AC_{1}} 的夹角即可得出线面角的大小.

解答

(1) 证明: ∵A1A⊥\because A_{1}A \perp 平面 ABCABC, B1B⊥B_{1}B \perp 平面 ABCABC,

∴AA1//BB1\therefore \mathrm{AA}_{1} / / \mathrm{BB}_{1}

∵AA1=4,BB1=2,AB=2,\because \mathrm{AA}_{1} = 4, \quad \mathrm{BB}_{1} = 2, \quad \mathrm{AB} = 2,

∴A1B1=(AB)2+(AA1−BB1)2=22,\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1} = \sqrt{(\mathrm{AB})^{2} + \left(\mathrm{AA}_{1} - \mathrm{BB}_{1}\right)^{2}} = 2 \sqrt{2},

又 AB1=AB2+BB12=22,∴AA12=AB12+A1B12,AB_{1} = \sqrt{AB^{2} + BB_{1}^{2}} = 2\sqrt{2},\therefore AA_{1}^{2} = AB_{1}^{2} + A_{1}B_{1}^{2},

∴AB1⊥A1B1\therefore \mathrm{AB}_{1} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1}

同理可得： AB1⊥B1C1AB_{1}\perp B_{1}C_{1}

又 A1B1∩B1C1=B1A_{1}B_{1} \cap B_{1}C_{1} = B_{1} ,

∴AB1⊥\therefore AB_{1}\perp 平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1} .

(II) 解: 取 AC 中点 O, 过 O 作平面 ABC 的垂线 OD, 交 A1C1A_{1}C_{1} 于 D,

∵AB=BC,∴OB⊥OC,\because A B = B C, \therefore O B \perp O C,

∵AB=BC=2,∠BAC=120∘,∴OB=1,OA=OC=3,\because A B = B C = 2, \angle B A C = 1 2 0^{\circ}, \therefore O B = 1, O A = O C = \sqrt{3},

以 O 为原点，以 OB, OC, OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:

A(0,−3,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,3,1)\mathrm{A} (0, - \sqrt{3}, 0), \mathrm{B} (1, 0, 0), \mathrm{B}_{1} (1, 0, 2), \mathrm{C}_{1} (0, \sqrt{3}, 1)

∴AB→=(1,3,0),BB1→=(0,0,2),AC1→=(0,23,1)\therefore \overrightarrow{A B} = (1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{B B_{1}} = (0, 0, 2), \overrightarrow{A C_{1}} = (0, 2 \sqrt{3}, 1)

设平面 ABB1ABB_{1} 的法向量为 n⃗=(x,y,z)\vec{n} = (x, y, z) ，则 {n⃗⋅AB→=0n⃗⋅BB1→=0\left\{\begin{aligned}\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} &= 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BB_{1}} &= 0\end{aligned}\right.

∴{x+3y=02z=0\therefore \left\{\begin{array}{l} x + \sqrt{3} y = 0 \\ 2z = 0 \end{array} \right.，令 y=1y = 1 可得 n⃗=(−3,1,0)\vec{n} = (-\sqrt{3}, 1, 0)，

∴cos⁡<n→,AC1→>=n→⋅AC1→∣n→∣∣AC1→∣=232×13=3913.\therefore \cos < \overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}} > = \frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}}{| \overrightarrow{\mathrm{n}} | | \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}} |} = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \times \sqrt{1 3}} = \frac{\sqrt{3 9}}{1 3}.

设直线 AC1AC_{1} 与平面 ABB1ABB_{1} 所成的角为 θ\theta ，则 sin⁡θ=∣cos⁡<n⃗,AC1→>∣=3913\sin\theta = |\cos < \vec{n}, \overrightarrow{AC_{1}} >| = \frac{\sqrt{39}}{13} .

∴直线 AC1AC_{1} 与平面 ABB1ABB_{1} 所成的角的正弦值为 3913\frac{\sqrt{39}}{13} .