化到同一条垂线段上比

解题套路

1. 挑一条公共垂线段：从动点（或关键点）向底面作垂线 $FP$，$P$ 是垂足。这一条要能被三个角共用，所以垂足所在的面通常就是题里那个「平面 $ABC$」。

2. 把每个角读成一个直角三角形里的锐角：三角形的一条直角边永远是 $FP$，另一条直角边是底面内的某条线段（$PE$、$PM$……）。

3. 写出三个正切，形如

   $$\tan\theta_i=\frac{FP}{\ell_i}\quad\text{或}\quad \frac{\ell_i}{FP}$$

4. 比线段代替比角：$FP$ 是公共的，于是比角只剩下比那几条底面线段 $\ell_i$ 的长短——而它们都在一个平面里，长短一眼可判（垂线段最短、两点间距离不超过某条边……）。

5. 注意正切的方向性：$\tan\theta=\dfrac{FP}{\ell}$ 时 $\ell$ 越小角越大；$\tan\theta=\dfrac{\ell}{FP}$ 时反过来。列式时把每个角是哪一种写在旁边，否则比着比着就把不等号写反了。

为什么它管用

三种空间角的定义各不相同（异面直线要平移、线面角要射影、二面角要作平面角），但它们最后都落在「垂线段 : 水平线段」这个比值上——因为这三种角的构造里都出现同一条垂直于底面的线段。把这条线段抽出来当公因子，三个角就被摆进了同一个可比的框架。

边界与退化

• 某条水平线段可能取到 $0$（动点跑到特殊位置），此时对应的角是 $90^\circ$、正切不存在。结论要覆盖这个位置，写成「$\tan$ 关系 + 端点单独说明」。
• 若三个角里有可能是钝角的（二面角），先确认在本题的构型下它落在锐角范围，否则「比正切」就不等于「比角」——正切在 $(0^\circ,90^\circ)$ 上才递增。

常见失手

• 垂足不共用：三个角各作各的垂线，比值里没有公因子，白忙一场。
• 正切写反：把 $\dfrac{FP}{\ell}$ 写成 $\dfrac{\ell}{FP}$，不等号方向整个翻。
• 忘了正切递增的前提：三个角都要在 $(0^\circ,90^\circ)$ 内，比 $\tan$ 才等于比角。