浙江 2018 · 数学 q08

题面

8. 已知四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形, 侧棱长均相等, $E$ 是线段 $AB$ 上的点 (不含端点), 设 $SE$ 与 $BC$ 所成的角为 $\theta_{1}, SE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\theta_{2}$, 二面角 $S-AB-C$ 的平面角为 $\theta_{3}$, 则 A. $\theta_{1} \leq \theta_{2} \leq \theta_{3}$ B. $\theta_{3} \leq \theta_{2} \leq \theta_{1}$ C. $\theta_{1} \leq \theta_{3} \leq \theta_{2}$ D. $\theta_{2} \leq \theta_{3} \leq \theta_{1}$

答案

D

解析

分析

作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小.

解答

解：∵由题意可知 S 在底面 ABCD 的射影为正方形 ABCD 的中心. 过 E 作 EF // BC，交 CD 于 F，过底面 ABCD 的中心 O 作 ON ⊥ EF 交 EF 于 N，连接 SN，

取 AB 中点 M，连接 SM，OM，OE，则 EN=OM，

则 $\theta_{1} = \angle \mathrm{SEN}$ ， $\theta_{2} = \angle \mathrm{SEO}$ ， $\theta_{3} = \angle \mathrm{SMO}$

显然， $\theta_{1}$ ， $\theta_{2}$ ， $\theta_{3}$ 均为锐角。

$\because \tan \theta_{1} = \frac{\mathrm{SN}}{\mathrm{NE}} = \frac{\mathrm{SN}}{\mathrm{OM}}, \tan \theta_{3} = \frac{\mathrm{SO}}{\mathrm{OM}}, \mathrm{SN} \geqslant \mathrm{SO},$

$\therefore \theta_{1} \geqslant \theta_{3}$

又 $\sin\theta_{3}=\frac{SO}{SM}$ ， $\sin\theta_{2}=\frac{SO}{SE}$ ， $SE\geqslant SM$ ，

$\therefore \theta_{3} \geqslant \theta_{2}$

故选：D.