浙江 2018 · 数学 q08

转着看 · 换个机位再判断

四棱锥 $S-ABCD$：底面正方形、侧棱长均相等 ⟹ $S$ 的射影是中心 $O$。$E$ 取 $AB$ 内部一点，$EF\parallel BC$、$ON\perp EF$ 于 $N$ ⟹ $\theta_{1}=\angle SEN$、$\theta_{2}=\angle SEO$、$\theta_{3}=\angle SMO$；$\tan\theta_{1}=\frac{SN}{OM}\geq\frac{SO}{OM}=\tan\theta_{3}$，$\sin\theta_{3}=\frac{SO}{SM}\geq\frac{SO}{SE}=\sin\theta_{2}$ ⟹ $\theta_{2}\leq\theta_{3}\leq\theta_{1}$（官方答案 D；$E$ 取中点时三个角相等，这就是 $\leq$ 的由来）。边长与高只是示意：题面没给尺寸，代码里把 $E$ 的位置和顶点高各扫了一圈逐组验过

机位1题图角度2正对 SOM3沿 SOM 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：三个角各是什么

四棱锥 $S$-$ABCD$，底面正方形、侧棱都相等，所以顶点 $S$ 在底面的射影是正方形的正中 $O$。$E$ 在线段 $AB$ 上，不含端点。

三个角：

• $\theta_1$：$SE$ 与 $BC$ 所成的角。$SE$ 与 $BC$ 异面（$E$ 不在 $BC$ 上，$SE$ 也不平行于底面），所以这是异面直线所成的角，范围 $(0^\circ,90^\circ]$。
• $\theta_2$：$SE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角。斜线 $SE$ 与它在底面上的射影 $OE$ 所成的角，即 $\angle SEO$。
• $\theta_3$：二面角 $S$-$AB$-$C$ 的平面角。棱是 $AB$，一个面是侧面 $SAB$，另一个面是底面。取 $AB$ 中点 $M$，则 $\theta_3=\angle SMO$。这个角不随 $E$ 动。

问的是三个角的大小顺序，而且要对所有允许的 $E$ 都成立。特殊位置试出来的顺序，只能当猜想。

解法一：作垂足把三个角落进同一组直角

怎么想到的。 三种角定义不同，硬比没有公共边。从 $S$ 向底面作垂线 $SO$，让三个角的对边或邻边都落到 $SO$ 或与 $SO$ 等长的竖线段上，比较就变成比水平边或斜边的长短。

① 先把三个角落到图上。

过 $E$ 作 $EF\parallel BC$，交 $CD$ 于 $F$。过 $O$ 作 $ON\perp EF$ 于 $N$，连 $SN$。因为 $EF\parallel BC$，所以 $SE$ 与 $EF$ 所成的角就是 $SE$ 与 $BC$ 所成的角，即 $\theta_1=\angle SEN$。直角在 $N$（$SN\perp EF$ 可由三垂线或坐标直接验）。

$\theta_2=\angle SEO$（斜线与射影）。$\theta_3=\angle SMO$（$M$ 为 $AB$ 中点，$OM\perp AB$）。

三个角都是锐角：侧棱斜向下，不可能垂直或钝。

② 比 $\theta_1$ 与 $\theta_3$。 在 $\mathrm{Rt}\triangle SNE$ 里 $\tan\theta_1=SN/NE$；在 $\mathrm{Rt}\triangle SMO$ 里 $\tan\theta_3=SO/OM$。由作法 $NE=OM$（都等于正方形边心距），且 $SN\ge SO$（$N$ 到 $O$ 的水平距离非负，$SN=\sqrt{SO^2+ON^2}$）。正切在 $(0^\circ,90^\circ)$ 递增，故 $\theta_1\ge\theta_3$。等号当且仅当 $N$ 与 $O$ 重合，即 $E$ 为 $AB$ 中点。

③ 比 $\theta_3$ 与 $\theta_2$。 $\sin\theta_3=SO/SM$，$\sin\theta_2=SO/SE$。$M$ 是 $AB$ 上到 $S$ 最近的点（等腰侧面 $SAB$ 的中线），故 $SE\ge SM$。正弦在 $(0^\circ,90^\circ)$ 递增，故 $\theta_3\ge\theta_2$。等号当且仅当 $E=M$。

④ 合起来。 $\theta_2\le\theta_3\le\theta_1$，选 D。$E$ 可以取到中点（中点不是端点），所以等号进答案；其余位置是严格不等。

解法二：建系，用向量夹角比正切与正弦

怎么想到的。 不想作 $EF$、$N$ 那些辅助线时，把棱锥放进坐标系，三个角都变成两个向量的夹角。

底面正方形的正中为原点，$AB$ 平行于 $x$ 轴：

$$A(-1,-1,0),\ B(1,-1,0),\ C(1,1,0),\ D(-1,1,0),\ S(0,0,h)\ (h>0).$$

$E$ 在 $AB$ 上不含端点，设 $E(t,-1,0)$，$t\in(-1,1)$。

① $\theta_2$。 $\overrightarrow{SE}=(t,-1,-h)$，底面法向 $\vec k=(0,0,1)$，

$$\sin\theta_2=\frac{h}{\lvert\overrightarrow{SE}\rvert}=\frac{h}{\sqrt{t^2+1+h^2}}.$$

② $\theta_3$。 $M(0,-1,0)$，$\overrightarrow{MS}=(0,1,h)$，$\overrightarrow{MO}=(0,1,0)$，

$$\tan\theta_3=\frac{h}{1}=h,\qquad \sin\theta_3=\frac{h}{\sqrt{1+h^2}}.$$

与 $t$ 无关。

③ $\theta_1$。 $\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$，

$$\cos\theta_1=\frac{\lvert\overrightarrow{SE}\cdot(0,1,0)\rvert}{\lvert\overrightarrow{SE}\rvert}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1+h^2}},$$

从而 $\tan\theta_1=\sqrt{t^2+h^2}$（由 $\sin^2+\cos^2=1$ 与锐角）。于是

$$\tan\theta_1=\sqrt{t^2+h^2}\ge h=\tan\theta_3\implies\theta_1\ge\theta_3,$$ $$\sin\theta_2=\frac{h}{\sqrt{t^2+1+h^2}}\le\frac{h}{\sqrt{1+h^2}}=\sin\theta_3\implies\theta_2\le\theta_3.$$

还是 $\theta_2\le\theta_3\le\theta_1$。选 D。