空间三种角的大小比较

题型说明

• 常见问法：「记 $EF$ 与 $AA_1$ 所成的角为 $\alpha$，$EF$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\beta$，二面角 $F\text{-}BC\text{-}A$ 的平面角为 $\gamma$，则（　）」，四个选项是三个角的四种排序。
• 难点有两层：① 三种角的定义不同，要各自找对；② 图里往往有动点（$E$、$F$ 可以在棱上任意取），所以结论必须对所有位置都成立——找一个特殊位置试出来的顺序不足以定答案。
• 关键动作：把三个角落到同一族直角三角形里。做法是从动点向底面作一条垂线段，让三个角的正切都写成「同一条垂线段」与「某条水平线段」之比，比较就退化成比较那几条水平线段的长短。

两条常走的路

• 几何法：作垂线、找射影，把三个角分别读成三个直角三角形里的锐角，再比正切。步骤短，但每个角都要说清楚「凭什么它就是那个角」。
• 坐标法：建系、设参数，把三个角的正弦/余弦/正切写成参数的函数再比。不必构造辅助线，代价是要处理带参数的不等式。

三个量程要分清

常见陷阱

• 拿一个特殊位置定答案：动点题里 $E$、$F$ 取特殊值算出的顺序可能恰好是某个干扰项。要么给出对全部位置成立的证明，要么至少验两个差别很大的位置。
• 三个角找错：异面直线角要平移到相交再量；线面角要找射影；二面角的平面角两条边都要垂直于棱。
• 忽略等号：选项写的是 $\le$，所以要交代什么时候取等（往往是动点跑到端点时），不能只证严格不等。